Question

定義：到凸四邊形一組對(duì)邊距離相等，到另一組對(duì)邊距離也相等的點(diǎn)叫凸四邊形的準(zhǔn)內(nèi)點(diǎn)．如圖1，PH=PJ，PI=PG，則點(diǎn)P就是四邊形ABCD的準(zhǔn)內(nèi)點(diǎn)．

（1）如圖2，∠AFD與∠DEC的角平分線FP，EP相交于點(diǎn)P．求證：點(diǎn)P是四邊形ABCD的準(zhǔn)內(nèi)點(diǎn)．
（2）分別畫出圖3平行四邊形和圖4梯形的準(zhǔn)內(nèi)點(diǎn)．（作圖工具不限，不寫作法，但要有必要的說(shuō)明）
（3）判斷下列命題的真假，在括號(hào)內(nèi)填“真”或“假”．
①任意凸四邊形一定存在準(zhǔn)內(nèi)點(diǎn)．（______）
②任意凸四邊形一定只有一個(gè)準(zhǔn)內(nèi)點(diǎn)．（______）
③若P是任意凸四邊形ABCD的準(zhǔn)內(nèi)點(diǎn)，則PA+PB=PC+PD或PA+PC=PB+PD．（______）

Answer 1

解：（1）如圖2，過(guò)點(diǎn)P作PG⊥AB，PH⊥BC，PI⊥CD，PJ⊥AD
∵EP平分∠DEC
∴PJ=PH．
同理PG=PI．
∴P是四邊形ABCD的準(zhǔn)內(nèi)點(diǎn)．

（2）

平行四邊形對(duì)角線AC，BD的交點(diǎn)P₁就是準(zhǔn)內(nèi)點(diǎn)，如圖3（1）．
或者取平行四邊形兩對(duì)邊中點(diǎn)連線的交點(diǎn)P₁就是準(zhǔn)內(nèi)點(diǎn)，如圖3（2）；
梯形兩腰夾角的平分線與梯形中位線的交點(diǎn)P₂就是準(zhǔn)內(nèi)點(diǎn)．如圖4．

（3）真；真；假．
分析：（1）過(guò)點(diǎn)P作PG⊥AB，PH⊥BC，PI⊥CD，PJ⊥AD，由角平分線的性質(zhì)可知PJ=PH，PG=PI；
（2）平行四邊形對(duì)角線的交點(diǎn)，即為平行四邊形的準(zhǔn)內(nèi)點(diǎn)；梯形兩腰夾角的平分線與梯形中位線的交點(diǎn)，即為梯形的準(zhǔn)內(nèi)點(diǎn)；
（3）①當(dāng)凸四邊形為平行四邊形時(shí)，易知其對(duì)角線交點(diǎn)即為其準(zhǔn)內(nèi)點(diǎn)；②當(dāng)凸四邊形不為平行四邊形時(shí)，可以將四邊形的兩邊延長(zhǎng)，構(gòu)造三角形，其對(duì)角線交點(diǎn)即為準(zhǔn)內(nèi)點(diǎn)．
點(diǎn)評(píng)：此題是一道新定義探索性題目，考查了對(duì)新信息的理解與應(yīng)用能力，同時(shí)考查了三角形及四邊形的性質(zhì)．