設E、F分別在正方形ABCD的邊BC,CD上滑動保持且∠EAF=45°,AP⊥EF于點P.
(1)求證:AP=AB;
(2)若AB=5,求△ECF的周長.

【答案】分析:通過作輔助線,①證明△ABF′≌△ADF和△EAF′≌△EAF,再通過面積公式得出AP=AB;
②三角形的周長=三邊之和,由①中三角形的全等,通過等量代換,得出BE+BF′=EF′.
解答:證明:(1)延長CB到F′,使BF′=DF,
在正方形ABCD中,AB=AD,∠ABC=∠D=90°,
∴∠ABF′=180°-∠ABC=90°=∠D,
∴△ABF′≌△ADF(SAS),
∴AF′=AF,∠1=∠2,
∴∠EAF′=∠1+∠3=∠2+∠3=90°-∠EAF=45°=∠EAF,
又∵EA=EA,
∴△EAF′≌△EAF(SAS),
∴EF′=EF,S△AEF'=S△ABF,
EF′•AB=EF•AP,
∴AB=AP.

解:(2)C△CEF=EC+CF+EF
=EC+CF+EF′
=EC+BE+CF+BF′
=BC+CF+DF
=BC+CD=2AB=10.
點評:本題是一道綜合題,考查三角形的全等,正方形的性質,以及等量代換的方法和轉化的思想.
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