Question

如圖，半徑為的⊙O內有互相垂直的兩條弦AB，CD相交于P點，
（1）設BC的中點為F，連接FP并延長交AD于E，求證：EF⊥AD；
（2）若AB=8，CD=6，求OP的長．

Answer 1

（1）證明：∵AB⊥CD，
∴∠CPB=90°，即△PBC為直角三角形，
∴∠C+∠B=90°，
∵F為BC的中點，
∴PF=CF=BF，
∴∠C=∠CPF，
又∵∠CPF=∠DPE，
∴∠C=∠DPE，
∴∠DPE+∠B=90°，
又∵∠B=∠D，
∴∠DPE+∠D=90°，
∴∠PED=90°，即EF⊥AD；

（2）解：連接OB，OD，OP，過O作OH⊥CD，OQ⊥AB，
∵AB⊥CD，
∴四邊形PGOQ為矩形，
∴H、Q分別為CD、AB的中點，
∴QB=4，HD=3，
在Rt△OHD中，HD=3，OD=2，
根據勾股定理得：OH=PQ==，
在Rt△OBQ中，OB=2，QB=4，
根據勾股定理得：OQ=PH==2，
在Rt△OPH中，PH=2，OH=，
根據勾股定理得：OP==．
分析：（1）由AB與CD垂直得到△PBC為直角三角形，進而確定出一對角互余，再由F為斜邊BC的中點，利用斜邊上的中線等于斜邊的一半得到PF=CF=FB，利用等邊對等角得到∠C=∠CPF，根據對頂角相等及等量代換得到∠C=∠DPF，可得出∠DPF與∠B互余，而∠B=∠D，進而確定出∠D與∠DPF互余，即可得證；
（2）連接接OB，OD，OP，過O作OH⊥CD，OQ⊥AB，利用垂徑定理得到H與Q分別為CD與AB的中點，由AB與CD的長求出HD與BQ的長，在直角三角形OHD與BOQ中，利用勾股定理求出OH與OQ的長，由四邊形PHOQ為矩形，確定出OH與PH的長，在直角三角形OPH中，利用勾股定理即可求出OP的長．
點評：此題考查了垂徑定理，直角三角形斜邊上的中線性質，以及勾股定理，熟練掌握垂徑定理是解本題的關鍵．