Question

（2006•青島）如圖①，有兩個(gè)形狀完全相同的直角三角形ABC和EFG疊放在一起（點(diǎn)A與點(diǎn)E重合），已知AC=8cm，BC=6cm，∠C=90°，EG=4cm，∠EGF=90°，O是△EFG斜邊上的中點(diǎn)．
如圖②，若整個(gè)△EFG從圖①的位置出發(fā)，以1cm/s的速度沿射線AB方向平移，在△EFG平移的同時(shí)，點(diǎn)P從△EFG的頂點(diǎn)G出發(fā)，以1cm/s的速度在直角邊GF上向點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)F時(shí)，點(diǎn)P停止運(yùn)動(dòng)，△EFG也隨之停止平移．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x（s），F(xiàn)G的延長(zhǎng)線交AC于H，四邊形OAHP的面積為y（cm²）（不考慮點(diǎn)P與G、F重合的情況）．

（1）當(dāng)x為何值時(shí)，OP∥AC；
（2）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并確定自變量x的取值范圍；
（3）是否存在某一時(shí)刻，使四邊形OAHP面積與△ABC面積的比為13：24？若存在，求出x的值；若不存在，說(shuō)明理由．（參考數(shù)據(jù)：114²=12996，115²=13225，116²=13456或4.4²=19.36，4.5²=20.25，4.6²=21.16）

Answer 1

【答案】分析：（1）由于O是EF中點(diǎn)，因此當(dāng)P為FG中點(diǎn)時(shí)，OP∥EG∥AC，據(jù)此可求出x的值．
（2）由于四邊形AHPO形狀不規(guī)則，可根據(jù)三角形AFH和三角形OPF的面積差來(lái)得出四邊形AHPO的面積．三角形AHF中，AH的長(zhǎng)可用AF的長(zhǎng)和∠FAH的余弦值求出，同理可求出FH的表達(dá)式（也可用相似三角形來(lái)得出AH、FH的長(zhǎng)）．三角形OFP中，可過(guò)O作OD⊥FP于D，PF的長(zhǎng)易知，而OD的長(zhǎng)，可根據(jù)OF的長(zhǎng)和∠FOD的余弦值得出．由此可求得y、x的函數(shù)關(guān)系式．
（3）先求出三角形ABC和四邊形OAHP的面積，然后將其代入（2）的函數(shù)式中即可得出x的值．
解答：解：（1）∵Rt△EFG∽R(shí)t△ABC
∴，
∴FG==3cm
∵當(dāng)P為FG的中點(diǎn)時(shí)，OP∥EG，EG∥AC
∴OP∥AC
∴x==×3=1.5（s）
∴當(dāng)x為1.5s時(shí)，OP∥AC．

（2）在Rt△EFG中，由勾股定理得EF=5cm
∵EG∥AH
∴△EFG∽△AFH
∴
∴AH=（x+5），F(xiàn)H=（x+5）
過(guò)點(diǎn)O作OD⊥FP，垂足為D

∵點(diǎn)O為EF中點(diǎn)
∴OD=EG=2cm
∵FP=3-x
∴S_{四邊形OAHP}=S_△AFH-S_△OFP
=•AH•FH-•OD•FP
=•（x+5）•（x+5）-×2×（3-x）
=x²+x+3（0＜x＜3）．

（3）假設(shè)存在某一時(shí)刻x，使得四邊形OAHP面積與△ABC面積的比為13：24
則S_{四邊形OAHP}=×S_△ABC
∴x²+x+3=××6×8
∴6x²+85x-250=0
解得x₁=，x₂=-（舍去）
∵0＜x＜3
∴當(dāng)x=（s）時(shí)，四邊形OAHP面積與△ABC面積的比為13：24．
點(diǎn)評(píng)：本題是比較常規(guī)的動(dòng)態(tài)幾何壓軸題，第1小題運(yùn)用相似形的知識(shí)容易解決，第2小題同樣是用相似三角形建立起函數(shù)解析式，要說(shuō)的是本題中說(shuō)明了要寫(xiě)出自變量x的取值范圍，而很多試題往往不寫(xiě)，要記住自變量x的取值范圍是函數(shù)解析式不可分離的一部分，無(wú)論命題者是否交待了都必須寫(xiě)，第3小題只要根據(jù)函數(shù)解析式列個(gè)方程就能解決．