Question

如圖所示，AB是⊙O直徑，CF⊥AB交⊙O于E、F，連接AC交⊙O于D．

求證：CD·AD=DE·DF．

Answer 1

答案：略
解析：

∵D、A、F、E四點(diǎn)共圓，∴∠CED=∠DAF，∠CDE=∠EFA． ∵AB是⊙O的直徑，且EF⊥AB，∴=．∴∠EFA=∠FDA． ∴∠CDE=∠FDA．∴△CDE∽△FDA．∴CD∶DF=DE∶AD． ∴CD·AD=DE·DF．

提示：

所證的四條線(xiàn)段中，CD、AD在同一條直線(xiàn)上，但因是乘積關(guān)系，故要考慮這種關(guān)系的確定需要什么知識(shí)．因所證的四條線(xiàn)段中分別涉及兩個(gè)三角形，即△CDE與△FDA．這時(shí)只有通過(guò)證角相等采證相似．因D、A、F、E四點(diǎn)共圓，則∠CED=∠FAD及∠CDE=∠EFA；又因AB是直徑且EF⊥AB，故=，所以有∠ADF=∠AFE，故∠CDE=∠ADF．這時(shí)△CDE∽△FDA的條件都已具備，故結(jié)論就可成立． 題目還可以連接EB后證明結(jié)論．