Question

如圖，在平面直角坐標系中，頂點為A（1，﹣1）的拋物線經過點B（5，3），且與x軸交于C，D兩點（點C在點D的左側）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）求點O到直線AB的距離；

（3）點M在第二象限內的拋物線上，點N在x軸上，且∠MND=∠OAB，當△DMN與△OAB相似時，請你直接寫出點M的坐標．

Answer 1

解：（1）設拋物線的解析式為y=a（x﹣1）²﹣1，

將B點坐標代入函數解析式，得

（5﹣1）²a﹣1=3，

解得a=．

故拋物線的解析式為y=（x﹣1）²﹣1；

（2）由勾股定理，得OA²=1¹+1²=2，OB²=5²+3²=34，AB²=（5﹣1）²+（3+1）²=32，

OA²+AB²=OB²，

∴∠OAB=90°，

O到直線AB的距離是OA=；

（3）設M（a，b），N（a，0）

當y=0時，（x﹣1）²﹣1=0，

解得x₁=3，x₂=﹣1，

D（3，0），DN=3﹣a．

①當△MND∽△OAB時，=，即=，

化簡，得4b=a﹣3  ①

M在拋物線上，得b=（a﹣1）²﹣1   ②

聯立①②，得，

解得a₁=3（不符合題意，舍），a₂=﹣2，b=，

M₁（﹣2，），

當△MND∽△BAO時，=，即=，

化簡，得b=12﹣4a   ③，

聯立②③，得，

解得a₁=3（不符合題意，舍），a₂=﹣17，b=12﹣4×（﹣17）=80，

M₂（﹣17，80）．

綜上所述：當△DMN與△OAB相似時，點M的坐標（﹣2，），（﹣17，80）．