Question

如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC；
（1）求作∠A的平分線AD交BC于D（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，要寫作法，不證明）
（2）在完成（1）后，求證：AB=AC+CD．

Answer 1

（1）解：作法：
①在AB上截取AH=AC，
②分別以C，H點(diǎn)為圓心，大于的長度為半徑畫弧，設(shè)兩弧交于點(diǎn)M，
③做射線AM，設(shè)AM與BC交于點(diǎn)D，
④則AD為∠A的平分線，

（2）證明：作DE⊥AB于E，
∵∠C=90°，AC=BC，
∴∠B=∠ECB=45°，
∴DE=BE，
∵在△ACD和△AED中，
，
∴△ADC≌△ADE（AAS），
∴AC=AE，CD=DE，
∵AB=AE+BE，
∴AB=AC+CD．
分析：（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)，首先在AB上截取AH=AC，再分別以C，H點(diǎn)為圓心，大于的長度為半徑畫弧，設(shè)兩弧交于點(diǎn)M，做射線AM，設(shè)AM與BC交于點(diǎn)D，則AD為∠A的平分線；
（2）作DE⊥AB于E，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可知∠B=∠ECB=45°，可DE=BE，再通過證△ADC≌△AEC，推出AC=AE，CD=DE，然后通過等量代換即可推出結(jié)論．
點(diǎn)評：本題主要考查全等三角形的判定，角平分線的性質(zhì)，關(guān)鍵在于根據(jù)題意正確的畫出圖形，正確的推出相關(guān)的三角形全等．