Question

（本題滿分12分）．某企業(yè)設(shè)計(jì)了一款工藝品，每件的成本是50元，為了合理定價(jià)，投放市場(chǎng)進(jìn)行試銷．據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，銷售單價(jià)是100元時(shí)，每天的銷售量是50件，而銷售單價(jià)每降低1元，每天就可多售出5件，但要求銷售單價(jià)不得低于成本．

（1）求出每天的銷售利潤(rùn)y（元）與銷售單價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）求出銷售單價(jià)為多少元時(shí)，每天的銷售利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？

（3）如果該企業(yè)要使每天的銷售利潤(rùn)不低于4000元，且每天的總成本不超過7000元，那么銷售單價(jià)應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？（每天的總成本＝每件的成本×每天的銷售量）

Answer 1

（1）y＝－5x2＋800x－27500；

（2）當(dāng)x＝80時(shí)，y最大值＝4500；

（3）銷售單價(jià)應(yīng)該控制在82元至90元之間．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)每天的銷售利潤(rùn)=一件的利潤(rùn)×每天的銷售量可列出y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）將（1）中二次函數(shù)關(guān)系式配方，化成頂點(diǎn)式，確定二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)即可；（3）當(dāng)y＝4000時(shí)，求出銷售單價(jià)x的值，可確定每天的銷售利潤(rùn)不低于4000元時(shí)x的取值范圍，再根據(jù)每天的總成本不超過7000元，確定x的取值范圍，確定公共部分，從而得解．

試題解析：【解析】
（1）y＝（x－50）[50＋5（100－x）]

＝（x－50）（－5x＋550）

＝－5x2＋800x－27500

∴y＝－5x2＋800x－27500．

（2）y＝－5x2＋800x－27500

＝－5（x－80）2＋4500

∵a＝－5＜0，

∴拋物線開口向下．

∵50≤x≤100，對(duì)稱軸是直線x＝80，

∴當(dāng)x＝80時(shí)，y最大值＝4500．

（3）當(dāng)y＝4000時(shí)，－5（x－80）2＋4500＝4000，

解這個(gè)方程，得x1＝70，x2＝90．

∴當(dāng)70≤x≤90時(shí)，每天的銷售利潤(rùn)不低于4000元．

由每天的總成本不超過7000元，得50（－5x＋550）≤7000，

解這個(gè)不等式，得x≥82．

∴82≤x≤90．

∵50≤x≤100，

∴銷售單價(jià)應(yīng)該控制在82元至90元之間．

考點(diǎn)：1．確定函數(shù)關(guān)系式； 2．二次函數(shù)的應(yīng)用；3．函數(shù)與不等式．