Question

某數(shù)學(xué)興趣小組開(kāi)展了一次活動(dòng)，過(guò)程如下：

設(shè)∠BAC=θ（0°＜θ＜90°）．現(xiàn)把小棒依次擺放在兩射線(xiàn)之間，并使小棒兩端分別落在射線(xiàn)AB，AC上．

活動(dòng)一：

如圖甲所示，從點(diǎn)A₁開(kāi)始，依次向右擺放小棒，使小棒與小棒在端點(diǎn)處互相垂直，A₁A₂為第1根小棒．

數(shù)學(xué)思考：

（1）小棒能無(wú)限擺下去嗎？答：　_________　．（填“能”或“不能”）

（2）設(shè)AA₁=A₁A₂=A₂A₃=1．

①θ=　_________　度；

②若記小棒A_2n﹣1A_2n的長(zhǎng)度為a_n（n為正整數(shù)，如A₁A₂=a₁，A₃A₄=a₂，…）求出此時(shí)a₂，a₃的值，并直接寫(xiě)出a_n（用含n的式子表示）．

活動(dòng)二：

如圖乙所示，從點(diǎn)A₁開(kāi)始，用等長(zhǎng)的小棒依次向右擺放，其中A₁A₂為第1根小棒，且A₁A₂₌AA₁．

數(shù)學(xué)思考：

（3）若已經(jīng)擺放了3根小棒，θ₁=　_________　，θ₂=　_________　，θ₃=　_________　；（用含θ的式子表示）

（4）若只能擺放4根小棒，求θ的范圍．

 

Answer 1

【答案】

（1）能 （2）①θ=22.5°   ②      （3）θ₁=2θ，θ₂=3θ，θ₃=4θ

（4）18°≤θ＜22.5°

【解析】

試題分析：（1）能．

因?yàn)榻堑膬蓷l邊為兩條射線(xiàn)，沒(méi)有長(zhǎng)度，所以小棒可以無(wú)限擺放下去；

（2）①∵AA₁=A₁A₂=A₂A₃=1，A₁A₂⊥A₂A₃

∴θ₂=45°，

θ=22.5°．

故答案為22.5；

②∵AA₁=A₁A₂=A₂A₃=1，A₁A₂⊥A₂A₃，

∴A₁A₃=，AA₃=．

又∵A₂A₃⊥A₃A₄，

∴A₁A₂∥A₃A₄．

同理：A₃A₄∥A₅A₆，

∴∠A=∠AA₂A₁=∠AA₄A₃=∠AA₆A₅，

∴AA₃=A₃A₄，AA₅=A₅A₆

∴a₂=A₃A₄=AA₃=，

a₃=AA₃+A₃A₅=a₂+A₃A₅．

∵A₃A₅=a₂，

∴a₃=A₅A₆=AA₅=．

∴；

（3）∵A₁A₂₌AA₁

∴θ₁=∠A₂A₁A₃=2θ，

∴θ₂=∠A₂A₄A₃=θ+2θ=3θ，

∴θ₃=∠A₂A₄A₃+θ=4θ，

故答案為θ₁=2θ，θ₂=3θ，θ₃=4θ；

（4）由題意得：

，

∴18°≤θ＜22.5°．

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；一元一次不等式組的應(yīng)用；勾股定理；等腰直角三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、解一元一次不等式、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵在于找到等量關(guān)系，求相關(guān)角的度數(shù)等．