Question

已知：拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，0），一條直線y=ax+b，它們的系數(shù)之間滿(mǎn)足如下關(guān)系：a＞b＞c．
（1）求證：拋物線與直線一定有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；
（2）設(shè)拋物線與直線的兩個(gè)交點(diǎn)為A、B，過(guò)A、B分別作x軸的垂線，垂足分別為A₁、B₁．令k=

c

a

，試問(wèn)：是否存在實(shí)數(shù)k，使線段A₁B₁的長(zhǎng)為4

2

．如果存在，求出k的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）考查了判別式與函數(shù)交點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，要注意△=b²-4ac，當(dāng)△＞0時(shí)，有兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)△=0時(shí)，有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)△＜0時(shí)，沒(méi)有交點(diǎn)；
（2）此題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，要注意此線段的長(zhǎng)即是兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)的橫坐標(biāo)的差，用根與系數(shù)的關(guān)系表示出，變形即可求得．

解答：解：（1）根據(jù)題意得：a+b+c=0
ax+b=ax²+bx+c
∵a＞b＞c
∴a+b＞0，a＞0，c＜0，
∴ax²+（b-a）x+c-b=0，
∴ax²+（b-a）x-a-b-b=0，
∴△=（b-a）²-4a（-a-2b）=（a+b）²+4a（a+b）＞0，
∴拋物線與直線一定有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；
（2）不存在
設(shè)點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)分別為x₁，x₂，
∵ax²+（b-a）x+c-b=0，
∴x₁+x₂=

a-b

a

，x₁•x₂=

c-b

a

，
根據(jù)題意得：A₁B₁=|x₁-x₂|=

(x1-x2)2

=

(x1+x2)2-4x1x2

=

( a-b a )2- 4(c-b) a

=4

2

∴(

c

a

)2-

4c

a

=32，
∴k²-4k-32=0，
∴k=8或k=-4，
∵a＞0，c＜0
∴k=-4，
∵當(dāng)k=-4時(shí)，

c

a

=-4得到C=-4a，又a+b+c=0，

即a+b-4a=0 所以b=3a

∵a＞0，
∴b＞a，

∵a＞b＞c，
∴k=-4不符題意舍去，
∴不存在符合題意的k值．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，要注意方程判別式的應(yīng)用，以及根與系數(shù)的關(guān)系；
這是中考中的難點(diǎn)，要注意認(rèn)真分析．