Question

如圖，⊙O的半徑長(zhǎng)為5，OC垂直弦AB于點(diǎn)C，OC的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)E，與過點(diǎn)B的⊙O的切線交于點(diǎn)F，已知CE=x．
（1）若x=2，求AB、BF的長(zhǎng)；
（2）求EF•CO²的最大值．

Answer 1

解：（1）EC=2，則CO=5-2=3，
∵CO⊥AB，
∴AB=2CB，在Rt△BCO中，BO=5，
∴BC===4，
∴AB=8，
∵BF為⊙O的切線，
∴OB⊥BF，在△BOC和△OBF中
∵∠OCB=∠FBO=90°，∠BOC=∠BOF，
∴△BOC∽△OBF，
∴=，
∴=，
解得：BF=；

（2）∵∠CBF+∠OBC=90°，∠BOC+∠OBC=90°，
∴∠CBF=∠BOC，又∠BCF=∠BCO=90°，
∴△BCO∽△FCB，
∴=，
∴BC²=OC×FC，
∵OC=5-x，OB=5，
∴BC²=BO²-CO²=25-（5-x）²，
∴25-（5-x）²=CO×FC=（5-x）×FC，
∴FC=，
∴EF×CO²=（FC-EC）×CO²
=（-x）（5-x）²
=5x（5-x）
=5[-（x-）²+]
=-5（x-）²+，
∴EF×CO²的最大值為．
分析：（1）利用切線的性質(zhì)以及勾股定理得出AB的長(zhǎng)，進(jìn)而利用△BOC∽△OBF，得出即可；
（2）首先得出△BCO∽△FCB，進(jìn)而用x表示出FC的長(zhǎng)，即可利用二次函數(shù)最值求法得出即可．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及切線的性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)已知得出△BCO∽△FCB，進(jìn)而表示出FC的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．