Question

【題目】在四邊形ABCD中，AB=CD，M、N分別是AD和BC的中點(diǎn)，延長(zhǎng)BA和CD分別交射線(xiàn)NM于點(diǎn)E和點(diǎn)F，若tan∠F= ， FC=FN，EN= ， 則EF=

Answer 1

【答案】1
【解析】解：連接BD，點(diǎn)K為BD的中點(diǎn)；連接KM、KN；延長(zhǎng)MN至G點(diǎn)，使EG=EB，連接BG．
∵M(jìn)、N分別是AD和BC的中點(diǎn)，
∴KM∥AB，AB=2KM、KN∥CD，CD=2KN．
∵AB=CD，
∴KM=KN，
∴△KMN為等腰三角形，
∴∠KMN=∠KNM，
∵KM∥AB
∴∠BEG=∠KMN，
∵KN∥CD，
∴∠F=∠KNM
∴∠F=∠KNM=∠KMN=∠BEG，
∵FC=FN、EB=EG，
∴△EBG和△FCN均為等腰三角形，且△EBG∽△FCN．
∴∠G=∠C=∠FNC，
又∵∠BNG=∠FNC，
∴∠G=∠BNG，
∴△BGN為等腰三角形，
∴BN=BG，∠EBG=∠G，
∴BG=CN，∠EBG=∠FNC，
在△EBG和△FNC中 ，
∴△EBG≌△FCN（ASA），
∴EG=FN，
∴EF=NG，
過(guò)B點(diǎn)作GN的垂線(xiàn)BH交GN于H點(diǎn)．
由△BGN為等腰△可知，HN=HG，
∵tan∠F= ，
∴設(shè)BH=3a．
∴tan∠BEG=tan∠F= ，
∴EH=4a、BE=5a，
∴HG=HN=BE﹣EH=a，
∵EN=HE﹣HN=4a﹣a=3a，
∵EN= ， 所以3a= ，
∴a= ， EF=NG=2a=1，
所以答案是：1．


【考點(diǎn)精析】本題主要考查了三角形中位線(xiàn)定理的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握連接三角形兩邊中點(diǎn)的線(xiàn)段叫做三角形的中位線(xiàn)；三角形中位線(xiàn)定理：三角形的中位線(xiàn)平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半才能正確解答此題．