Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=-x²+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），過(guò)點(diǎn)A的直線y=kx+1交拋物線于點(diǎn)C（2，3）．
（1）求直線AC及拋物線的解析式；
（2）若直線y=kx+1與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)E，以點(diǎn)E為中心將直線y=kx+1順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到直線l，設(shè)直線l與y軸的交點(diǎn)為P，求△APE的面積；
（3）若G為拋物線上一點(diǎn)，是否存在x軸上的點(diǎn)F，使以B、E、F、G為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：本題是一次函數(shù)，二次函數(shù)的綜合題，充分利用兩者之間圖象的聯(lián)系，解析式中待定系數(shù)的個(gè)數(shù)，先求一次函數(shù)解析式，再求二次函數(shù)解析式，根據(jù)題目的要求，對(duì)二次函數(shù)進(jìn)行運(yùn)用．在坐標(biāo)系中求圖形面積，可以充分利用圖形的各頂點(diǎn)坐標(biāo)的數(shù)值，確定圖形的底、高，可把圖形分割成幾個(gè)規(guī)則圖形的和或者差．

解答：解：（1）∵點(diǎn)C（2，3）在直線y=kx+1上，
∴2k+1=3．
解得k=1．
∴直線AC的解析式為y=x+1．
∵點(diǎn)A在x軸上，
∴A（-1，0）．
∵拋物線y=-x²+bx+c過(guò)點(diǎn)A、C，
∴

-1-b+c=0 -4+2b+c=3

解得

b=2 c=3

∴拋物線的解析式為y=-x²+2x+3．

（2）由y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
可得拋物線的對(duì)稱軸為x=1，B（3，0）．
∴E（1，2）．
根據(jù)題意，知點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)B處，直線l過(guò)點(diǎn)B、E．
設(shè)直線l的解析式為y=mx+n．
將B、E的坐標(biāo)代入y=mx+n中，
聯(lián)立可得m=-1，n=3．
∴直線l的解析式為y=-x+3．
∴P（0，3）．
過(guò)點(diǎn)E作ED⊥x軸于點(diǎn)D．
∴S_△PAE=S_△PAB-S_△EAB=

1

2

AB•PO-

1

2

AB•ED=

1

2

×4×（3-2）=2．

（3）存在，點(diǎn)F的坐標(biāo)分別為（3-

2

，0），（3+

2

，0），（-1-

6

，0）（-1+

6

，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查點(diǎn)的坐標(biāo)的求法及一次函數(shù)，二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用．此題為數(shù)學(xué)建模題，借助二次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題．