Question

如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)P是線段AD上一動(dòng)點(diǎn)，O為BD的中點(diǎn)， PO的延長(zhǎng)線交BC于Q.

（1）求證：△ P O D ≌ △Q O B ；

（2）若AD=8厘米，AB=6厘米，P從點(diǎn)A出發(fā)，以1厘米/秒的速度向D運(yùn)動(dòng)（不與D重合）.設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，請(qǐng)用t表示PD的長(zhǎng)；并求t為何值時(shí)，四邊形P B Q D是菱形．

 

Answer 1

【答案】

（1）證明：四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，                         

∴∠PDO=∠QBO，又OB=OD，∠POD=∠QOB，

∴△POD≌△QOB                             

（2）解法一： PD=8-t  

∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A=90°，

∵AD=8cm，AB=6cm，∴BD=10cm，∴OD=5cm.               

當(dāng)四邊形PBQD是菱形時(shí)， PQ⊥BD，∴∠POD=∠A，又∠ODP=∠ADB，

∴△ODP∽△ADB，                                     

∴，即，                                    

解得,即運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒時(shí)，四邊形PBQD是菱形.               

解法二：PD=8-t     

當(dāng)四邊形PBQD是菱形時(shí)，PB=PD=(8-t)cm，

∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A=90°，在RT△ABP中，AB=6cm，

∴，  ∴，

    解得,即運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒時(shí)，四邊形PBQD是菱形.  

【解析】（1）本題需先根據(jù)四邊形ABCD是矩形，得出AD∥BC，∠PDO=∠QBO，再根據(jù)O為BD的中點(diǎn)得出△POD≌△QOB．

（2）本題需先根據(jù)已知條件得出∠A的度數(shù)，再根據(jù)AD=8厘米，AB=6厘米，得出BD和OD的長(zhǎng)，再根據(jù)四邊形PBQD是菱形時(shí)，證出△ODP∽△ADB，即可求出t的值，判斷出四邊形PBQD是菱形