Question

在平面直角坐標(biāo)系xoy中，邊長(zhǎng)為的正方形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)P，頂點(diǎn)A在x軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，頂點(diǎn)B在y軸正半軸上運(yùn)動(dòng)（x軸的正半軸、y軸的正半軸都不包含原點(diǎn)O），頂點(diǎn)C、D都在第一象限．

⑴當(dāng)∠BAO=45°時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo);

⑵求證：無論點(diǎn)A在x軸正半軸上、點(diǎn)B在y軸正半軸上怎樣運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P都在∠AOB的平分線上；

⑶當(dāng)B點(diǎn)坐標(biāo)為（0,1）時(shí)，求CD的解析式。

 

Answer 1

【答案】

⑴P（，）⑵證明見解析⑶

【解析】⑴P（，）

    ⑵過點(diǎn)P分別作x軸、y軸的垂線垂足分別為M、N，

         則有∠PMA=∠PNB=∠NPM=∠BPA=90°，

         ∴∠MPA=∠NPB，又PA＝PB，

         ∴△PAM≌△PBN，

         ∴PM=PN，于是，點(diǎn)P都在∠AOB的平分線上；

    ⑶

本題考查的是一次函數(shù)綜合題，涉及到全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)及正方形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵

（1）先根據(jù)正方形的性質(zhì)求出BP的長(zhǎng)，再由∠BAO=45°判斷出四邊形OAPB是正方形，由正方形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；

（2）作DE⊥x軸于E，設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（m，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，n），由全等三角形的判定定理得出△AOB≌△DEA，故可得出D點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)P是線段BD的中點(diǎn)即可得出P點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可得出結(jié)論．

⑶求出AB的解析式,即可求得CD的解析式