閱讀材料:如圖在四邊形ABCD中,對角線AC⊥BD,垂足為P.
求證:S四邊形ABCD=
1
2
AC•BD.
證明:AC⊥BD?
S△ACD=
1
2
AC•PD
S△ABC=
1
2
AC•BP

∴S四邊形ABCD=S△ACD+S△ACB=
1
2
AC•PD+
1
2
AC•BP
=
1
2
AC(PD+PB)=
1
2
AC•B D
解答問題:
(1)上述證明得到的性質(zhì)可敘述為
 
;
(2)已知:如圖,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,對角線AC⊥BD且相交于點(diǎn)P,AD=3cm,BC=7cm,利用上述的性質(zhì)求梯形的面積.
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分析:本題的關(guān)鍵是求出AC,BD的長,可過A,D分別作BC的垂線AE,DF,在直角三角形BFD中,可根據(jù)兩底的差求出BE,CF的長,也就求出了BF,CE的長,要求BD還需知道直角三角形中一個銳角的度數(shù),可通過全等三角形ACB和DBC得出∠DBC=∠ACB=45°,由此可得出BD,AC的長,進(jìn)而根據(jù)題目給出的面積計(jì)算方法求出梯形的面積.
解答:精英家教網(wǎng)解:(1)敘述:對角線互相垂直的四邊形的面積等于對角線乘積的一半;

(2)方法一:
∵四邊形ABCD為等腰梯形,
∵BD=AC,AB=CD,BC=BC
∴△ABC≌△DBC
∴∠ACB=∠DBC=45°,
在直角三角形BPC中,∠DBC=45°,BP=
1
2
BC
cos∠DBC
=
1
2
BC
cos45°
=
1
2
BC
2
2
=
2
2
BC=
2
2
,
同理可得PD=
2
2
,BD=BP+PD=5
2

又等腰梯形對角線相等,即BD=AC=5
2
cm
∴S梯形=
1
2
•BD•AC=25(cm2);
方法二:作DE∥AC交BC延長線于點(diǎn)E,作DM⊥BC于點(diǎn)M,
∵等腰梯形ABCD中,AD∥BC,
∴AC=BD,
∵AD∥CE,AC∥DE,
∴四邊形ACDE是平行四邊形,
∴AC=DE=BD,AD=CE,
∵對角線AC⊥BD且相交于點(diǎn)P,
∴∠BDE=90°,
∴△BDE是等腰直角三角形,
∵AD=3cm,BC=7cm,
∴BE=10cm,
∴DM=5cm,
∴S梯形=
1
2
•MD•BE=25(cm2).
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點(diǎn)評:本題主要考查了等腰梯形性質(zhì)的應(yīng)用,根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)得出∠DBC等于45°是解題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源:同步訓(xùn)練與評價·數(shù)學(xué)·八年級·上 題型:044

閱讀材料,解答問題.

①如圖(1)已知正方形ABCD的對角線AC、BD相交于點(diǎn)O,E是AC上一點(diǎn),過A作AG⊥EB,垂足為G,AG交BD于F,則OE=OF理由是:∵四邊開ABCD是正方形,∴∠BOE=∠AOF=,BO=AO.又∵AG⊥EB,∠1+∠3==∠2+∠3∴∠1=∠2,∴Rt△BOE≌Rt△AOF解答此題后某同學(xué)產(chǎn)生了如下猜想:對上述命題,若點(diǎn)E在AC的延長線上,AG⊥EB,AG交EB的延長線于G,AG的延長線交DB的延長線于F,其它條件不變,如圖,則仍有OE=OF.問猜想所得的結(jié)論是否成立,請說明理由.

②已知:E、F分別是平行四邊形ABCD的邊AD和BC的中點(diǎn),并且2AB=BC,G是AF和BE的交點(diǎn),H是CE和DF的交點(diǎn).(1)試探求四邊形GFHE的形狀;并說明理由.(2)若四邊形GFHE是正方形,平行四邊形ABCD應(yīng)滿足什么條件?

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