Question

如圖8-1，在正方形ABCD和正方形BEFG中，點A，B，E在同一條直線上，連接DF，且P是線段DF的中點，連接PG，PC．

（1）如圖8-1中，PG與PC的位置關系是　　　　　，數量關系是　　　　；（2分）

（2） 如圖8-2將條件“正方形ABCD和正方形BEFG”改為“矩形ABCD和矩形BEFG”其它條件不變，求證：PG=PC；（3分）

（3）如圖8-3，若將條件“正方形ABCD和正方形BEFG”改為“菱形ABCD和菱形BEFG”，點A，B，E在同一條直線上，連接DF，P是線段DF的中點，連接PG、PC，且∠ABC=∠BEF=60°，求的值

Answer 1

（1）,；

（2）證明：延長GP交CD于H，∵P是DF的中點，    ∴DP=FP                         

        由題意得矩形ABCD和矩形BEFG，點A，B，E在同一條直線上

∴DC∥GF∴∠HDP=∠GFP

又∵∠HPD=∠GPF

        ∴△DPH≌△FPG (ASA)           

        ∴HP=GP                       

        又∵∠HCG=90º，∴Rt△HCG中,P為HG的中點

        ∴PC=       即：PG=PC  

（3）解：延長GP交CD于H，  ∵P是DF的中點，      ∴DP=FP                         

        由題意在菱形ABCD和菱形BEFG，點A，B，E在同一條直線上

∴DC∥GF   ∴∠HDP=∠GFP

又∵∠HPD=∠GPF   ∴△DPH≌△FPG (ASA)         

        ∴HP=GP   DH=FG              

        又∵CD=CB，FG=GB ∴CD－DH=CB－FG即：CH=CG                   

∴△HCG是等腰三角形，

∴PC⊥PG    ∠HCP=∠GCP   (等腰三角形三線合一)

又∵∠ABC=60º∴∠GCP =∠DCB= 60º

∴Rt△CPG中          

（其他證明方法和解法參考給分）