Question

如圖，一次函數(shù)y=-

2

3

x+2的圖象分別與x軸、y軸交于A、B，以AB邊在第一象限作△ABC，∠BAC=90°，且AB=AC，求過B、C的直線解析式

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式

專題：代數(shù)幾何綜合題,數(shù)形結(jié)合,待定系數(shù)法

分析：先根據(jù)一次函數(shù)的解析式求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再作CD⊥x軸于點(diǎn)D，由全等三角形的判定定理可得出△ABO≌△CAD，由全等三角形的性質(zhì)可知OA=CD，故可得出C點(diǎn)坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法即可求出直線BC的解析式．

解答：解：∵一次函數(shù)y=-

2

3

x+2中，令x=0得：y=2．令y=0，解得x=3． 
∴B的坐標(biāo)是（0，2），A的坐標(biāo)是（3，0）．   
如圖，過點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D．
∵∠BAC=90°，
∴∠OAB+∠CAD=90°，
又∵∠CAD+∠ACD=90°，
∴∠ACD=∠BAO
又∵AB=AC，∠BOA=∠CDA=90°
∴△ABO≌△CAD，
∴AD=OB=2，CD=OA=3，OD=OA+AD=5．
則C的坐標(biāo)是（5，3）．                    
設(shè)BC的解析式是y=kx+b，
根據(jù)題意得：

b=2  5k+b=3

，
解得

k= 1 5 b=2

．
則BC的解析式是：y=

1

5

x+2．
故答案是：y=

1

5

x+2．

點(diǎn)評：本題考查的是一次函數(shù)綜合題，涉及到用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、全等三角形的判定定理與性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出全等三角形是解答此題的關(guān)鍵．