Question

如圖，已知AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分線MN交AB于D，AC于M．以下結(jié)論：
①△BCD是等腰三角形；②射線CD是△ACB的角平分線；③△BCD的周長C_△BCD=AB+BC；④△ADM≌△BCD．
正確的有（　　）

A．①②

B．①③

C．②③

D．③④

Answer 1

分析：根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理由AB=AC，∠A=36°可得到∠B=∠ACB=72°，再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到DA=DC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)有∠ACD=∠A=36°，可計算出∠BCD=72°-36°=36°，∠BDC=180°-∠B-∠BCD=72°，則CB=CD，可對①進(jìn)行判斷；根據(jù)三角形的角平分線的定義可對②進(jìn)行判斷；根據(jù)DA=DC和
三角形周長的定義可得到△BCD的周長C_△BCD=DB+DC+BC=DB+DA+BC=AB+BC，則可對③進(jìn)行判斷；由于△ADM為直角三角形，而△BCD為頂角為36°的等腰三角形，
可對④進(jìn)行判斷．

解答：解：∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠B=∠ACB=72°，
∵AC的垂直平分線MN交AB于D，
∴DA=DC，
∴∠ACD=∠A=36°，
∴∠BCD=72°-36°=36°，
∴∠BDC=180°-∠B-∠BCD=72°，
∴CB=CD，
∴△BCD是等腰三角形，所以①正確；
∵∠BCD=36°，∠ACD=36°，
∴CD平分∠ACB，
∴線段CD為△ACB的角平分線，所以②錯誤；
∵DA=DC，
∴△BCD的周長C_△BCD=DB+DC+BC=DB+DA+BC=AB+BC，所以③正確；
∵△ADM為直角三角形，而△BCD為頂角為36°的等腰三角形，
∴△ADM不等全等于△BCD，所以④錯誤．
故選C．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：有兩組邊對應(yīng)相等，且它們所夾的角也相等，那么這兩個三角形全等；全等三角形的對應(yīng)邊相等．也考查了線段垂直平分線的性質(zhì)以及等腰三角形的判定與性質(zhì)．