Question

如圖，在等腰△ACE中，已知CA=CE=2，AE=2c，點B、D、M分別是邊AC、CE、AE的中點，以BC、CD為邊長分別作正方形BCGF和CDHN，連結FM、FH、MH．
（1）求△ACE的面積；
（2）試探究△FMH是否是等腰直角三角形？并對結論給予證明；
（3）當∠GCN=30°時，求△FMH的面積．

Answer 1

分析：（1）連結CM，在RT△ACM中，利用勾股定理求出CM的長即可求出△ACE的面積；
（2）△FMH是等腰直角三角形，連結BM，DM，首先證明四邊形四邊形BCDM是邊長1的菱形，設∠A=α，則∠BMA=∠DME=∠E=∠A=α，∠MDC=2α．利用三角形的內角和證明∠FMH=180°-∠AMH-∠CMH=180°-（α+θ）=90°即可；
（3）作△HMD的邊MD上的高HQ，則由勾股定理有求出DQ的長，再利用三角形的面積公式即可求出△FMH的面積．

解答：解：（1）連結CM，
∵CA=CE=2，M分別是邊AE的中點，
∴CM⊥AE．…（1分）
在RT△ACM中，AM=

1

2

AE=c，
由勾股定理得，CM=

AC2-AM2

=

4-c2

．
∴S△ACE=

1

2

AE×CM=

c

2

4-c2

．…（2分）
（2）△FMH是等腰直角三角形．…（3分）
證明：連結BM，DM．∵CA=CE=2，
點B、D、M分別是邊AC、CE、AE的中點，∴BC=CD=BM=DM=1．…（4分）
∴四邊形BCDM是邊長為1的菱形，
∴∠CBM=∠CDM．
∴∠CBM+∠FBC=∠CDM+∠HDC，即∠FBM=∠HDM，
∴△FBM≌△MDH．…（4分）
∴FM=MH，且∠FMB=∠HMD（設大小為θ）．
又設∠A=α，則∠BMA=∠DME=∠E=∠A=α，∠MDC=2α．
在△MDH中，DM=DH=1，
∴∠DHM=∠DMH=θ，
由三角形內角和定理可有：∴∠DHM+∠DMH+∠MDH=180°，
得：θ+θ+2α+90°=180°，
∴α+θ=45°．…（5分）
∴∠FMH=180°-∠AMH-∠CMH=180°-（α+θ）=90°．
∴△FMH是等腰直角三角形． …（6分）
（3）在等腰△ACE中，∠ACE=180°-2α，
又當∠GCN=30°時，∠ACE=360°-∠GCN=180°-30°=150°
從而有：180°-2α=150°，又α+θ=45°，得θ=30°，α=15°．…（7分）
如圖，作△HMD的邊MD上的高HQ，則由勾股定理有：
DQ=

1

2

DH=

1

2

，HQ2=DH2-DQ2=12-(

1

2

)2=

3

4

MQ=1+

1

2

=

3

2

，MH2=MQ2+HQ2=

9

4

+

3

4

=3…（8分）
∴△FMH的面積S△FMH=

1

2

FM×HM=

1

2

HM2=

3

2

．…（9分）

點評：本題考查了勾股定理的運用、菱形的判定、等腰直角三角形的判定、三角形的內角和定理以及全等三角形的判定和性質，題目的綜合性強難度大．解題的關鍵是作△HMD的邊MD上的高HQ，構造直角三角形．