Question

如圖1，一輛汽車的背面，有一種特殊形狀的刮雨器，忽略刮雨器的寬度可抽象為一條折線OAB，如圖2所示，量得連桿OA長為10 cm，雨刮桿AB長為48 cm，∠OAB＝120°．若啟動一次刮雨器，雨刮桿AB正好掃到水平線CD的位置，如圖3所示．

(1)求雨刮桿AB旋轉的最大角度及O、B兩點之間的距離；(結果精確到0.01)

(2)求雨刮桿AB掃過的最大面積．(結果保留π的整數(shù)倍)

(參考數(shù)據(jù)：sin60°＝，cos60°＝，tan60°＝，≈26.851，可使用科學計算器)

Answer 1

答案：
解析：

[答案]解：(1)雨刮桿AB旋轉的最大角度為180°． 　　連接OB，過O點作AB的垂線交BA的延長線于EH， 　　∵∠OAB＝120°， 　　∴∠OAE＝60° 　　在Rt△OAE中， 　　∵∠OAE＝60°，OA＝10， 　　∴sin∠OAE＝＝， 　　∴OE＝5， 　　∴AE＝5． 　　∴EB＝AE＋AB＝53， 　　在Rt△OEB中， 　　∵OE＝5，EB＝53， 　　∴OB＝＝＝2≈53.70； 　　(2)∵雨刮桿AB旋轉180°得到CD，即△OCD與△OAB關于點O中心對稱， 　　∴△BAO≌△OCD，∴S△BAO＝S△OCD， 　　　∴雨刮桿AB掃過的最大面積S＝π(OB2－OA2) ＝1392π． 　　[考點解剖]本題考查的是解直角三角形的應用，以及扇形面積的求法，難點是考生缺乏生活經(jīng)驗，弄不懂題意(提供的實物圖也不夠清晰，人為造成一定的理解困難)． 　　[解題思路]將實際問題轉化為數(shù)學問題，(1)AB旋轉的最大角度為180°；在△OAB中，已知兩邊及其夾角，可求出另外兩角和一邊，只不過它不是直角三角形，需要轉化為直角三角形來求解，由∠OAB＝120°想到作AB邊上的高，得到一個含60°角的Rt△OAE和一個非特殊角的Rt△OEB．在Rt△OAE中，已知∠OAE＝60°，斜邊OA＝10，可求出OE、AE的長，進而求得Rt△OEB中EB的長，再由勾股定理求出斜邊OB的長；(2)雨刮桿AB掃過的最大面積就是一個半圓環(huán)的面積(以OB、OA為半徑的半圓面積之差)． 　　[解答過程]略． 　　[方法規(guī)律]將斜三角形轉化為直角三角形求解．在直角三角形中，已知兩邊或一邊一角都可求出其余的量． 　　[關鍵詞]刮雨器　三角函數(shù)　解直角三角形　中心對稱　扇形的面積