Question

（2005•新疆）如圖，AB、AC分別是⊙O的直徑和弦，D是半圓上的一點(diǎn)，過(guò)D作DH⊥AB，垂足為H，延長(zhǎng)DH交AC于點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)F，P為DF延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)．
（1）探索△PCE滿足什么條件時(shí)，PC是⊙O的切線，并加以證明．
（2）若F是劣弧的中點(diǎn)，求證：AD²=DF•EF．

Answer 1

【答案】分析：（1）要使PC是圓的切線，則應(yīng)有∠ECP=∠PEC，即PC=PE；
（2）連接AF，由于AD=AF，則證△AEF∽△DAF即有AD²=EF•DF；
解答：（1）解：當(dāng)PC=PE（或∠PCE=∠PEC）時(shí)，PC與⊙O相切．
證明：連接AF，OC，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA．
∵PC=PE，
∴∠ECP=∠PEC．
∵∠PEC=∠AFE+∠FAE，∠AFE+∠FAE+∠CAO=90°，
∴∠PEC+∠CAO=90°．
∵∠OCP=∠OCA+∠ECP，
∴∠OCP=90°．
當(dāng)PC=PE（或∠PCE=∠PEC）時(shí)，PC與⊙O相切．

（2）證明：∵F是劣弧的中點(diǎn)，
∴弧FC=弧AF，∠ADF=∠FAC．
又∵∠AFE=∠AFD，
∴△AEF∽△DAF．
∴EF：AD=AF：DF．
∴AD•AF=EF•DF．
∵AB⊥DF，
∴AD=AF．
∴AD²=EF•DF．
點(diǎn)評(píng)：本題利用了等邊對(duì)等角，垂徑定理，切線的判定，圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)求解．