Question

（2007•陜西）如圖，在直角梯形OBCD中，OB=8，BC=1，CD=10．
（1）求C，D兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）若線段OB上存在點(diǎn)P，使PD⊥PC，求過(guò)D，P，C三點(diǎn)的拋物線的表達(dá)式．

Answer 1

【答案】分析：（1）過(guò)點(diǎn)C作CE⊥OD于點(diǎn)E，則四邊形OBCE為矩形．利用矩形的性質(zhì)可求得：C，D兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為C（8，1），D（0，7）．（2）根據(jù)PC⊥PD，可知∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°，∠2=∠3．則Rt△POD∽R(shí)t△CBP，可求PO：1=7：（8-PO）．求得PO=1，或PO=7．則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，0），或（7，0）．設(shè)經(jīng)過(guò)D，P，C三點(diǎn)的拋物線表達(dá)式為y=ax²+bx+c，分別利用待定系數(shù)法可求得①當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，0）時(shí)，所求拋物的表達(dá)式為：y=x²-x+7．
②當(dāng)點(diǎn)P為（7，0）時(shí)，所求拋物線的表達(dá)式為：y=x²-x+7．
解答：解：（1）過(guò)點(diǎn)C作CE⊥OD于點(diǎn)E，則四邊形OBCE為矩形．
∴CE=OB=8，OE=BC=1．
∴．
∴OD=DE+OE=7．
∴C，D兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為C（8，1），D（0，7）．（4分）

（2）∵PC⊥PD，
∴∠1+∠2=90度．
又∠1+∠3=90°，
∴∠2=∠3．
∴Rt△POD∽R(shí)t△CBP．
∴PO：CB=OD：BP．
即PO：1=7：（8-PO）．
∴PO²-8PO+7=0．
∴PO=1，或PO=7．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，0），或（7，0）．（6分）
①當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，0）時(shí)，
設(shè)經(jīng)過(guò)D，P，C三點(diǎn)的拋物線表達(dá)式為y=ax²+bx+c，
則，
∴，
∴所求拋物線的表達(dá)式為：y=x²-x+7．（9分）
②當(dāng)點(diǎn)P為（7，0）時(shí)，設(shè)經(jīng)過(guò)D，P，C三點(diǎn)的拋物線表達(dá)式為y=ax²+bx+c，
則，
∴
∴所求拋物線的表達(dá)式為：y=x²-x+7．（10分）
（說(shuō)明：求出一條拋物線表達(dá)式給（3分），求出兩條拋物線表達(dá)式給4分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有待定系數(shù)法求函數(shù)解析式和三角形全等的判定以及全等的性質(zhì)等．要熟練掌握才能靈活運(yùn)用．