Question

如圖，二次函數(shù)y=-

1

4

x2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（4，0），B（-4，-4），且與y軸交于點(diǎn)C．
（1）試求此二次函數(shù)的解析式；
（2）試證明：∠BAO=∠CAO（其中O是原點(diǎn)）；
（3）若P是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A、B重合），過P作y軸的平行線，分別交此二次函數(shù)圖象及x軸于Q、H兩點(diǎn)，試問：是否存在這樣的點(diǎn)P，使PH=2QH？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）由于拋物線的解析式中只有兩個(gè)待定系數(shù)，因此只需將A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線中即可求出二次函數(shù)的解析式．
（2）本題可先根據(jù)拋物線的解析式求出C點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)這三點(diǎn)的坐標(biāo)，求出∠CAO和∠BAO的正切值，以此來證明這兩角相等．
（3）可先根據(jù)直線AB的解析式設(shè)出P點(diǎn)的坐標(biāo)，由于PH⊥x軸，因此P、Q兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等，可根據(jù)拋物線的解析式求出Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)，根據(jù)PH=2QH，即P的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值是Q的縱坐標(biāo)絕對(duì)值的2倍，由此可求出P、Q的橫坐標(biāo)，進(jìn)而可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵點(diǎn)A（4，0）與B（-4，-4）在二次函數(shù)圖象上，
∴

0=-4+4b+c -4=-4-4b+c

解得

b= 1 2 c=2

∴二次函數(shù)解析式為y=-

1

4

x²+

1

2

x+2．

（2）過B作BD⊥x軸于點(diǎn)D，由（1）得C（0，2），
則在Rt△AOC中，tan∠CAO=

CO

AO

=

2

4

=

1

2

，
又在Rt△ABD中，tan∠BAD=

BD

AD

=

4

8

=

1

2

；
∵tan∠CAO=tan∠BAD，
∴∠CAO=∠BAO．

（3）由點(diǎn)A（4，0）與B（-4，-4），可得直線AB的解析式為y=

1

2

x-2，
設(shè)P（x，

1

2

x-2），（-4＜x＜4）；
則Q（x，-

1

4

x²+

1

2

x+2），
∴PH=|

1

2

x-2|=2-

1

2

x，QH=|-

1

4

x²+

1

2

x+2|．
∴2-

1

2

x=2|-

1

4

x²+

1

2

x+2|．
當(dāng)2-

1

2

x=-

1

2

x²+x+4，
解得x₁=-1，x₂=4（舍去），
∴P（-1，-

5

2

）
當(dāng)2-

1

2

x=

1

2

x²-x-4，
解得x₁=-3，x₂=4（舍去），
∴P（-3，-

7

2

）．
綜上所述，存在滿足條件的點(diǎn)，它們是P₁（-1，-

5

2

）與P₂（-3，-

7

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象交點(diǎn)的求法等知識(shí)點(diǎn)．主要考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．