Question

如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC為直徑的⊙O交AB于D，OE∥AB交BC于E，連DE．
（1）求證：DE為⊙O切線；
（2）若⊙O的半徑為3，DE=4，求AD之長．

Answer 1

【答案】分析：（1）連OD，證明△OED≌△OEC，從而得到∠ODE=90°．
（2）連CD，可得CD⊥AB，再證明ED直角三角形BCD斜邊的中線，可得BC，利用面積法求出CD，再利用勾股定理求AD．
解答：（1）證明：連接OD，如圖；
∵OE∥AB，
∴∠ODA=∠DOE，∠OAD=∠COE．（1分）
∵OD=OA，
∴∠ODA=∠OAD．
∴∠DOE=∠COE．
又∵OC=OD，OE=OE，
∴△OED≌△OEC．（3分）
∴∠ECO=∠EDO．
∵∠ECO=90°，
∴∠EDO=90°．
∴DE為⊙O切線．（4分）

（2）解：連接CD，
∵AC為⊙O的直徑，
∴∠ADC=90°．（5分）
∵ED、EC是⊙O的切線，
∴ED=EC，又∠BDC=90°．
∴ED=EC=EB=4．
∴在Rt△ACB中，AB=10．（6分）
∵AC•BC=AB•CD，
∴CD=4.8．（7分）
∴在Rt△ADC中AD=．（8分）
〔其他解法類似給分〕
點評：熟練掌握切線的判定定理和切線長定理．熟練運用勾股定理進行幾何計算．