【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠C=30°,以邊上AC上一點(diǎn)O為圓心,OA為半徑作⊙O,⊙O恰好經(jīng)過(guò)邊BC的中點(diǎn)D,并與邊AC相交于另一點(diǎn)F.
(1)求證:BD是⊙O的切線(xiàn).
(2)若AB=,E是半圓上一動(dòng)點(diǎn),連接AE,AD,DE.
填空:
①當(dāng)的長(zhǎng)度是____________時(shí),四邊形ABDE是菱形;
②當(dāng)的長(zhǎng)度是____________時(shí),△ADE是直角三角形.
【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)①;②π或π.
【解析】
試題分析:(1)證明:如圖1,連接OD,∵在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠C=30°,∴AB=BC,∵D是BC的中點(diǎn),∴BD=BC,∴AB=BD,∴∠BAD=∠BDA,∵OA=OD,∴∠OAD=∠ODA,∴∠ODB=∠BAO=90°,即OD⊥BC,∴BD是⊙O的切線(xiàn).
(2)①當(dāng)DE⊥AC時(shí),四邊形ABDE是菱形;如圖2,設(shè)DE交AC于點(diǎn)M,連接OE,則DE=2DM,∵∠C=30°,∴CD=2DM,∴DE=CD=AB=BC,∵∠BAC=90°,∴DE∥AB,∴四邊形ABDE是平行四邊形,∵AB=BD,∴四邊形ABDE是菱形;∵AD=BD=AB=CD=BC=,∴△ABD是等邊三角形,OD=CDtan30°=1,∴∠ADB=60°,∵∠CDE=90°﹣∠C=60°,∴∠ADE=180°﹣∠ADB﹣∠CDE=60°,∴∠AOE=2∠ADE=120°,∴的長(zhǎng)度為: =π;故答案為:;
②若∠ADE=90°,則點(diǎn)E與點(diǎn)F重合,此時(shí)的長(zhǎng)度為: =π;若∠DAE=90°,則DE是直徑,則∠AOE=2∠ADO=60°,此時(shí)的長(zhǎng)度為: =π;∵AD不是直徑,∴∠AED≠90°;綜上可得:當(dāng)的長(zhǎng)度是π或π時(shí),△ADE是直角三角形.故答案為:π或π.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,中,,,,點(diǎn)是中點(diǎn),將沿著直線(xiàn)翻折,得到,連接,則線(xiàn)段的長(zhǎng)等于( )
A.4B.C.D.5
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(1)如圖(1),已知:在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直線(xiàn)m經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,BD⊥直線(xiàn)m, CE⊥直線(xiàn)m,垂足分別為點(diǎn)D、E.證明:DE=BD+CE.
(2) 如圖(2),將(1)中的條件改為:在△ABC中,AB=AC,D、A、E三點(diǎn)都在直線(xiàn)m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=,其中為任意銳角或鈍角.請(qǐng)問(wèn)結(jié)論DE=BD+CE是否成立?如成立,請(qǐng)你給出證明;若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由.
(3)拓展與應(yīng)用:如圖(3),D、E是D、A、E三點(diǎn)所在直線(xiàn)m上的兩動(dòng)點(diǎn)(D、A、E三點(diǎn)互不重合),點(diǎn)F為∠BAC平分線(xiàn)上的一點(diǎn),且△ABF和△ACF均為等邊三角形,連接BD、CE,若∠BDA=∠AEC=∠BAC,試判斷△DEF的形狀.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,△ABC內(nèi)接于⊙O,CA=CB,CD∥AB且與OA的延長(zhǎng)線(xiàn)交與點(diǎn)D.
(1)判斷CD與⊙O的位置關(guān)系并說(shuō)明理由;
(2)若∠ACB=120°,OA=2,求CD的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在“雙十二”期間,A,B兩個(gè)超市開(kāi)展促銷(xiāo)活動(dòng),活動(dòng)方式如下:
A超市:購(gòu)物金額打9折后,若超過(guò)2000元再優(yōu)惠300元;
B超市:購(gòu)物金額打8折.
某學(xué)校計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)某品牌的籃球做獎(jiǎng)品,該品牌的籃球在A,B兩個(gè)超市的標(biāo)價(jià)相同.根據(jù)商場(chǎng)的活動(dòng)方式:
(1)若一次性付款4200元購(gòu)買(mǎi)這種籃球,則在B商場(chǎng)購(gòu)買(mǎi)的數(shù)量比在A商場(chǎng)購(gòu)買(mǎi)的數(shù)量多5個(gè).請(qǐng)求出這種籃球的標(biāo)價(jià);
(2)學(xué)校計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)100個(gè)籃球,請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)購(gòu)買(mǎi)方案,使所需的費(fèi)用最少.(直接寫(xiě)出方案)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】觀察下列兩位數(shù)(十位數(shù)字相同,個(gè)位數(shù)字的和是10)相乘的等式.
;;;;;…
我們發(fā)現(xiàn)了一個(gè)速算法則:兩個(gè)兩位數(shù)相乘,如果這兩個(gè)乘數(shù)的十位數(shù)字相同,個(gè)位數(shù)字的和是10,該類(lèi)乘法的速算方法是:將其中一個(gè)乘數(shù)的十位數(shù)字與另一個(gè)乘數(shù)的十位數(shù)字加1的和相乘,所得的積作為計(jì)算結(jié)果的前兩位(即千位和百位,數(shù)位不足兩位的,千位看作0);再將兩個(gè)乘數(shù)的個(gè)位數(shù)字相乘,所得的積作為計(jì)算結(jié)果的后兩位是,它們乘積的后兩位是,所以.請(qǐng)解答下列問(wèn)題:
(1)計(jì)算: ;
(2)若設(shè)其中一個(gè)乘數(shù)的十位數(shù)字為,個(gè)位數(shù)字是(表示1到9的整數(shù)).請(qǐng)通過(guò)計(jì)算解釋速算法則.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】大雙,小雙的媽媽申購(gòu)到一張北京奧運(yùn)會(huì)的門(mén)票,兄弟倆決定分別用標(biāo)有數(shù)字且除數(shù)字以外沒(méi)有其它任何區(qū)別的小球,各自設(shè)計(jì)一種游戲確定誰(shuí)去.
大雙:A袋中放著分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3的三個(gè)小球,B袋中放著分別標(biāo)有數(shù)字4,5的兩個(gè)小球,且都已各自攪勻,小雙蒙上眼睛從兩個(gè)口袋中各取出1個(gè)小球,若兩個(gè)小球上的數(shù)字之積為偶數(shù),則大雙得到門(mén)票;若積為奇數(shù),則小雙得到門(mén)票.
小雙:口袋中放著分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3的三個(gè)小球,且已攪勻,大雙,小雙各蒙上眼睛有放回地摸1次,大雙摸到偶數(shù)就記2分,摸到奇數(shù)記0分;小雙摸到奇數(shù)就記1分,摸到偶數(shù)記0分,積分多的就得到門(mén)票.(若積分相同,則重復(fù)第二次.)
(1)大雙設(shè)計(jì)的游戲方案對(duì)雙方是否公平?請(qǐng)你運(yùn)用列表或樹(shù)狀圖說(shuō)明理由;
(2)小雙設(shè)計(jì)的游戲方案對(duì)雙方是否公平?不必說(shuō)理.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了減少二氧化碳的排放量,提倡綠色出行,越來(lái)越多市民選擇租用共享單車(chē)出行,已知某共享單車(chē)公司為市民提供了手機(jī)支付(使用的前1小時(shí)免費(fèi))和會(huì)員卡支付兩種支付方式,如圖描述了兩種方式應(yīng)支付金額y(元)與騎行時(shí)間x(時(shí))之間的函數(shù)關(guān)系,根據(jù)圖象回答下列問(wèn)題:
(1)圖中表示會(huì)員卡支付的收費(fèi)方式是 (填①或②).
(2)在圖①中當(dāng)x≥1時(shí),求y與x的函數(shù)關(guān)系式.
(3)陳老師經(jīng)常騎行該公司的共享單車(chē),請(qǐng)根據(jù)不同的騎行時(shí)間幫他確定選擇哪種支付方式比較合算.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某中學(xué)舉行“慶祝中華人民共和國(guó)成立70周年”知識(shí)預(yù)賽,學(xué)生會(huì)把成績(jī)(分)分成五組:A組:;B組:;C組:;D組:;E組:.
統(tǒng)計(jì)后繪制成如下兩個(gè)統(tǒng)計(jì)圖(不完整).
(1)直接填空:
①的值為_________;
②在圖2中,組的扇形圓心角的度數(shù)為_________.
(2)在圖1中,畫(huà)出所對(duì)應(yīng)的條形圖;
(3)若學(xué)生會(huì)計(jì)劃從預(yù)賽中選拔前30名進(jìn)入復(fù)賽,則進(jìn)入復(fù)賽的成績(jī)應(yīng)不低于多少分?
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