Question

已知：如圖，Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是AC上一點，∠ABD=∠C，直線EF過點D，與BA的延長線相交于F，且EF⊥BC，垂足為E．
（1）寫出圖中所有與△ABD相似的三角形；
（2）探索：設(shè)

AC

AB

=t，是否存在這樣的t值，使得△ADF∽△EDB？說明理由．

Answer 1

分析：（1）與△ABD相似的三角形有△ACB，△ECD，△AFD，△EFB．
（2）全等三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)求出∠C的度數(shù)，利用余切求出t的值．

解答：解：（1）根據(jù)相似三角形的判定得，與△ABD相似的三角形有：△ACB，△ECD，△AFD，△EFB．

（2）存在t值，使△ADF∽△EDB．理由如下：
∵∠F=180°-∠FAD-∠FDA=90°-∠FDA，∠C=180°-∠CED-∠CDE=90°-∠CDE，∠FDA=∠CDE．
∴∠F=∠C．
∵∠ABD=∠C，
∴∠F=∠ABD．
在△ABD與△AFD中，∠F=∠ABD，∠FAD=∠BAD=90°，AD=AD，
∴△ABD≌△AFD．
∵△ADF∽△EDB，
∴△ADB∽△EDB，而相似比=

DB

DB

=1．
∴△ADB≌△EDB．
∴∠ABD=∠EBD．
∴∠F=∠ABD=∠EBD．
∵∠F+∠ABD+∠EBD=90°，
∴∠F=30°．
∴∠C=30°．
∴∠ABC=60°．
∴

AC

AB

=tan∠ABC=

3

．
∴t=

3

．

點評：本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，注意t值是∠C的余切值，需要求出∠C的度數(shù)．