Question

某商品的進價為每件30元，售價為每件50元，每個月可售出290件，如果每件商品的售價每上調一元，則每個月少賣10件（每件售價不能高于56元）設每件商品的售價上調x元（x為正整數）每個月的銷售量為y件．
（1）寫出y與x的函數關系式，并注明x的取值范圍；
（2）設每月的銷售利潤為W元，每件商品的售價為多少元時W最大；請問，售價在什么范圍時，每個月的售價不低于5880元．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據題意，得出每件商品的利潤以及商品總的銷量，即可得出y與x的函數關系式．
（2）根據題意利用配方法得出二次函數的頂點形式，進而得出當x=5或4時得出y的最大值．
解答：解：（1）設每件商品的售價上漲x元（x為正整數），
則每件商品的利潤為：（50-30+x）元，
總銷量為：（290-10x）件，
故y=290-10x，
∵原售價為每件50元，每件售價不能高于56元，
∴0≤x≤6，
（2）
每月的銷售利潤為：
W=（50-30+x）（290-10x），
=（20+x）（290-10x），
=-10x²+90x+5800．
=-10（x²-9x）+5800，
=-10（x-4.5）²+6002.5．
∵x為正整數，
∴x=4時，W=6000，
x=5時，W=6000，
故每件商品的售價為54元或55元時W最大，為6000元，
當-10x²+90x+5800=5880，
-10x²+90x-80=0，
整理得：x²-9x+8=0，
解得：x₁=1，x₂=8，根據0≤x≤6，
故售價在51到56范圍內時，每個月的售價不低于5880元．
點評：此題主要考查了二次函數的應用以及二次函數的最值問題，根據每天的利潤=一件的利潤×銷售量，建立函數關系式，借助二次函數解決實際問題是解題關鍵．