Question

【題目】已知二次函數的圖象經過點（0，﹣3），（2，5），（﹣1，﹣4）且與x軸交于A、B兩點，其頂點為P．

（1）試確定此二次函數的解析式；

（2）根據函數的圖象，指出函數的增減性，并直接寫出函數值y＜0時自變量x的取值范圍．

（3）求△ABP的面積．

Answer 1

【答案】（1）y=x2+2x﹣3；（2）﹣3＜x＜1；（3）8.

【解析】

試題分析：（1）根據二次函數的圖象經過點（0，﹣3），（2，5），（﹣1，﹣4），可以求得此二次函數的解析式；（2）首先根據第（1）問中求得的函數解析式可化為頂點式，從而可以得到頂點P的坐標，再令y=0代入求得的函數解析式可以求得點A和點B的坐標，從而可以得到函數值y＜0時自變量x的取值范圍，由頂點P的坐標和函數圖象可以得到函數的增減性；（3）由（2）可知點A的坐標為（﹣3，0），點B的坐標為（1，0），頂點P的坐標為（﹣1，﹣4），所以AB的長可求出，△ABP邊AB的高即為點P的縱坐標的絕對值，利用三角形面積公式計算即可．

試題解析：（1）設此二次函數的解析式為：y=ax2+bx+c，

∵二次函數的圖象經過點（0，﹣3），（2，5），（﹣1，﹣4），

∴ ，

解得a=1，b=2，c=﹣3，

∴此二次函數的解析式是：y=x2+2x﹣3；

（2）∵y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4，點P為此二次函數的頂點坐標，

∴點P的坐標為（﹣1，﹣4），

當x＜﹣1時，y隨x的增大而減��；

當x＞﹣1時，y隨x的增大而增大，

將y=0代入y=x2+2x﹣3得，x1=﹣3，x2=1，

∴點A的坐標為（﹣3，0），點B的坐標為（1，0）

∴函數值y＜0時自變量x的取值范圍是：﹣3＜x＜1；

（3）∵點A的坐標為（﹣3，0），點B的坐標為（1，0），頂點P的坐標為（﹣1，﹣4），

∴△DEF的面積= ×4×4=8．