Question

如圖，△ABC是等腰直角三角形，△DEF是一個含30°角的直角三角形，將D放在BC的中點上，轉(zhuǎn)動△DEF，設(shè)DE，DF分別交AC，BA的延長線于E，G，則下列結(jié)論：
①AG=CE         
②DG=DE
③BG-AC=CE      
④S_△BDG-S_△CDE=

1

2

S_△ABC
其中總是成立的是

①②③④

 （填序號）

Answer 1

分析：連接AD，即可推出AD垂直且平分BC，根據(jù)等腰直角三角形的相關(guān)性質(zhì)即可推出△ECD≌△GAD，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，即可推出AG=CE，DG=DE，再由AB=AC，AG=CE，可得BG-AC=BG-AB=AG，即BG-AC=CE，然后，根據(jù)所推出的結(jié)論可得S_△ECD=S_△GAD，S_△ABC=2S_ADB，通過等量代換，結(jié)合圖形即可推出S_△BDG-S_△CDE=S_△BDG-S_△ADG=S_△ADB，即S_△BDG-S_△CDE=

1

2

S_△ABC．

解答：解：連接AD．
∵△ABC是等腰直角三角形，D為BC的中點，
∴AD⊥BC，AD平分∠BAC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，∠ACD=∠B=∠CAD=∠BAD=45°，CD=BD=AD，
∵∠EDF=90°，
∴∠ADG=∠EDC，∠ECD=∠GAD=135°，
∴在△ECD和△GAD中，

∠ADG=∠EDC ∠ECD=∠GAD CD=AD

∴△ECD≌△GAD（AAS），
∴AG=CE，DG=DE，
∵AB=AC，
∴BG-AC=BG-AB=AG，
∵AG=CE，
∴BG-AC=CE，
∵△ECD≌△GAD，
∴S_△ECD=S_△GAD，
∵△ABC為等腰直角三角形，AD為斜邊上的高，
∴S_△ABC=2S_ADB，
∴S_△BDG-S_△CDE=S_△BDG-S_△ADG=S_△ADB，
∴S_△BDG-S_△CDE=

1

2

S_△ABC，
∴總上結(jié)論①②③④項均成立．
故答案為①②③④．

點評：本題主要考查等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)定理，三角形的面積公式，關(guān)鍵在于正確地作出輔助線，推出相關(guān)的三角形全等，認(rèn)真的結(jié)合圖形推出S_△BDG-S_△CDE=S_△BDG-S_△ADG=S_△ADB．