Question

如圖，AB是⊙O的直徑，AC、AD分別是⊙O的弦，且AC平分∠BAD，過點(diǎn)C作CE⊥AD交AD延長線于點(diǎn)E．
（1）求證：CE是⊙O的切線；
（2）若DE=1，AD=2，試解答下列問題：
①求AC的長；
②求弦AC、AD與劣弧CD所圍成圖形的面積．

Answer 1

分析：（1）連接OC，則可得OC=OA，∠OAC=∠OCA，再結(jié)合AC平分∠BAD，可判斷OC∥AE，繼而可判斷出結(jié)論．
（2）①根據(jù)切線的性質(zhì)得出∠ECD=∠EAC，從而可判斷出△CED∽△AEC，利用相似三角形的性質(zhì)求出CE的長度，在RT△ACE中，利用勾股定理可求出AC的長度．
②在RT△ACE中，利用三角函數(shù)的知識(shí)，可求出∠CAE的度數(shù)，繼而可判斷出DC∥AB，△OAD、△OCD是等邊三角形，可將弦AC、AD與劣弧CD所圍成圖形的面積，轉(zhuǎn)化為扇形OCD的面積，代入扇形面積公式進(jìn)行計(jì)算即可．

解答：解：（1）連接OC，OD，
∵OC=OA，
∴∠OAC=∠OCA，
又∵AC平分∠BAD，
∴∠CAD=∠CAO=∠OCA，
∴OC∥AE，即可得OC⊥CE，
故可得CE是⊙O的切線；

（2）①∵CE是⊙O的切線，
∴∠ECD=∠EAC，
∴△CED∽△AEC，
則

CE

AE

=

DE

CE

，即CE²=AE•DE=3，
解得：CE=

3

，
在RT△AEC中，AC=

EC2+AE2

=

3+9

=2

3

．
②由①的結(jié)論，可得tan∠CAE=

CE

AE

=

3

3

，
故∠CAE=30°，
∵∠OCA=∠OAC=∠CAE，
∴∠ACD=90°-∠ACE-∠ACO=30°，
故可得∠ACD=∠CAO，△AOD、△COD均是等邊三角形，
則⊙O的半徑R=AD=2，
故DC∥AB，則△ADC的面積與△COD的面積相等，
從而可得弦AC、AD與劣弧CD所圍成圖形的面積與扇形OCD的面積相等，
則S_扇形OCD=

60πR2

360

=

2π

3

．
即弦AC、AD與劣弧CD所圍成圖形的面積為

2π

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題屬于圓的綜合性題目，涉及了切線的判定與性質(zhì)、勾股定理，三角函數(shù)值及相似三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是利用相似三角形的性質(zhì)求出AC的長度，然后判斷出DC∥AB，將所求不規(guī)則面積轉(zhuǎn)化為扇形的面積，難度較大．