Question

操作與探究：
把兩塊全等的等腰直角△ABC和△DEF疊放在一起，使△DEF的頂點(diǎn)E與△ABC的斜邊中點(diǎn)O重合，其中∠BAC=∠EDF=90°，∠C=∠F=45°，AB=DE=4，將△ABC固定不動(dòng)，讓△DEF繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)．設(shè)射線(xiàn)ED與射線(xiàn)CA相交于點(diǎn)P，射線(xiàn)EF與射線(xiàn)AB相交于點(diǎn)Q．
（1）如圖①，當(dāng)射線(xiàn)EF經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，即點(diǎn)Q與點(diǎn)A重合時(shí)，試說(shuō)明△COP∽△BAO，并求CP•BQ值．
（2）如圖②，若△DEF繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角小于45°時(shí)，問(wèn)CP•BQ的值是否改變？說(shuō)明你的理由．
（3）若△DEF繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角大于45°而小于90°時(shí)，請(qǐng)?jiān)趫D③中畫(huà)出符合條件的圖形，并寫(xiě)出CP•BQ的值．（不用說(shuō)明理由）

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)證得△COP∽△BAO，并由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例來(lái)求CP•BQ值；
（2）、（3）不會(huì)改變，關(guān)鍵是還是證△COP∽△BQO，已知了一組45°角，關(guān)鍵是證（1）中的∠OPC=∠QOB，由于圖2由圖1旋轉(zhuǎn)而得，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α，那么∠COP=45°+α，∠BQO=45°+α，因此兩角相等．由此可證得兩三角形相似．因此結(jié)論不變．

解答：（1）解：∵△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，
∴∠B=∠C=∠F=∠FED=45°．
∵△ABC是等腰直角三角形，點(diǎn)O是斜邊BC的中點(diǎn)，
∴∠BAO=∠FOD=45°，∠AOB=90°，
∴AB∥OD，
∴∠OPC=∠AOB=90°，
∴△COP∽△BAO，
∴CP：BO=CO：BA，即CP：BO=CO：BQ，
∴CP•BQ=BO×CO，
∵AB=AC=4，
∴BE=CE=2

2

，
∴CP•BQ=BO×CO=2

2

×2

2

=8；

（2）CP•BQ的值是8．
證明：在△COP與△BQO中，
∠C=∠B=45°，∠COP=45°+α，而∠BQO=180°-45°-（90°-α）=45°+α，
∴∠COP=∠BQO，
∴△COP∽△BQO，
CP：BO=CO：BQ，
∴CP•BQ=BO×CO，
∵AB=AC=4，
∴BE=CE=2

2

，
∴CP•BQ=BO×CO=2

2

×2

2

=8；

（3）解：如圖，同理可說(shuō)明
CP•BQ=8．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識(shí)的綜合應(yīng)用，有一定難度，要對(duì)各部分知識(shí)都要熟練掌握．