Question

記三角形三邊長(zhǎng)為a、b、c，對(duì)應(yīng)邊上的高為h_a、h_b、h_c，請(qǐng)解答：
（1）已知h_a：h_b：h_c=2：3：4，且這三角形周長(zhǎng)為26cm，求a、b、c．
（2）若三角形的三條高分別為2、x、6，求x的取值范圍．
（3）若三條高分別為2、x、6的三角形是直角三角形，求x．
（4）若三條高分別為2、x、6的三角形是等腰三角形，求x．

Answer 1

考點(diǎn)：勾股定理,三角形的面積,三角形三邊關(guān)系,等腰三角形的性質(zhì)

專題：綜合題

分析：（1）設(shè)h_a=2k，h_b=3k，h_c=4k，根據(jù)三角形的面積公式列出等式，得出a：b：c=6：4：3，再由三角形的周長(zhǎng)為26cm，即可得出答案；
（2）設(shè)三角形的面積為s，根據(jù)三角形的面積公式，可用含s的代數(shù)式分別表示a、b、c的值，再根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理列出不等式組，求解即可；
（3）設(shè)三角形的面積為s，由（2）知a=s，b=

2s

x

，c=

s

3

．顯然a＞c，所以分兩種情況進(jìn)行討論：①如果a為斜邊；②如果b為斜邊．對(duì)每一種情況，都可以利用勾股定理列出關(guān)于x的方程，解方程即可；
（4）設(shè)三角形的面積為s，由（2）知a=s，b=

2s

x

，c=

s

3

．顯然a＞c，所以分兩種情況進(jìn)行討論：①a=b；②b=c．對(duì)每一種情況，列方程求出解以后，利用三角形三邊關(guān)系定理檢驗(yàn)．

解答：解：（1）設(shè)h_a=2k，h_b=3k，h_c=4k，則

1

2

ah_a=

1

2

bh_b=

1

2

ch_c，
即

1

2

a×2k=

1

2

b×3k=

1

2

c•4k，
∴2a=3b=4c，
∴a：b：c=6：4：3，
又∵a+b+c=26cm，
∴a=12cm，b=8cm，c=6cm；
（2）設(shè)三角形的面積為s，則
s=

1

2

ah_a=a，s=

1

2

bh_b=

1

2

bx，s=

1

2

ch_c=3c，
∴a=s，b=

2s

x

，c=

s

3

，
又a-c＜b＜a+c，
即 s-

s

3

＜

2s

x

＜s+

s

3

，
∴

1

3

＜

1

x

＜

2

3

，
∴

3

2

＜x＜3；
（3）設(shè)三角形的面積為s，由（2）知a=s，b=

2s

x

，c=

s

3

．
顯然a＞c，分兩種情況：
①如果a為斜邊，那么a²=b²+c²，
即s²=(

2s

x

)2+(

s

3

)2，
解得x=

3 2

2

；
②如果b為斜邊，那么b²=a²+c²，
即(

2s

x

)2=s²+(

s

3

)2，
解得x=

3 10

5

．
故所求x的值為=

3 2

2

或

3 10

5

；
（4）設(shè)三角形的面積為s，由（2）知a=s，b=

2s

x

，c=

s

3

．
顯然a＞c，分兩種情況：
①如果a=b，那么s=

2s

x

，解得x=2；
②如果b=c，那么b+c＜a，不滿足三角形三邊關(guān)系定理，故舍去．
故所求x=2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的周長(zhǎng)、面積公式，三角形三邊關(guān)系定理，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，有一定難度．設(shè)輔助未知數(shù)s是解題的關(guān)鍵．