Question

如（a）圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A坐標(biāo)為（12，0），點(diǎn)B坐標(biāo)為（6，8），點(diǎn)C為OB的中點(diǎn)，點(diǎn)D從點(diǎn)O出發(fā)，沿△OAB的三邊按逆時(shí)針方向以2個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度運(yùn)動(dòng)一周．
（1）點(diǎn)C坐標(biāo)是______，當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)8.5秒時(shí)所在位置的坐標(biāo)是______；
（2）設(shè)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，試用含t的代數(shù)式表示△OCD的面積S，并指出t為何值時(shí)，S最大；
（3）點(diǎn)E在線段AB上以同樣速度由點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，如（b）圖，若點(diǎn)E與點(diǎn)D同時(shí)出發(fā)，問在運(yùn)動(dòng)5秒鐘內(nèi)，以點(diǎn)D，A，E為頂點(diǎn)的三角形何時(shí)與△OCD相似？（只考慮以點(diǎn)A、O為對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的情況）

Answer 1

（1）C（3，4），D（9，4）；

（2）易知：OB=AB=10；
∵C點(diǎn)坐標(biāo)為（3，4），
∴點(diǎn)C到x軸的距離為4
①當(dāng)點(diǎn)D在線段OA上，即0＜t≤6時(shí)，OD=2t；
則：S=

1

2

OD×4=

1

2

×2t×4=4t；
②當(dāng)D在線段AB上，即6≤t＜11時(shí)，BD=OA+AB-2t=22-2t；
過D作DM⊥OB于M，過點(diǎn)A作AN⊥OB于N；
則△BMD∽△BNA，得：

DM

AN

=

BD

BA

=

22-2t

10

=

11-t

5

；
易知S_△OAB=48；
∵S_△ODB：S_△OAB=DM：AN=（11-t）：5，
∴S_△OBD=S_△OAB•

11-t

5

=

48

5

（11-t）；
∵BC=OC，
∴S=S_△BCD，即S=

1

2

S_△OBD=

24

5

（11-t）=-

24

5

t+

264

5

；
③當(dāng)D在線段OB上時(shí)，O、C、D三點(diǎn)共線，不能構(gòu)成三角形，此種情況不成立；
綜上可知：當(dāng)t=6時(shí)，S最大，且S_max=24；

（3）當(dāng)0≤t≤5s時(shí)，D在線段OA上運(yùn)動(dòng)，E在線段AB上運(yùn)動(dòng)；
△OCD中，OC=5，OD=2t；△DAE中，AD=12-2t，AE=2t；
①當(dāng)△OCD∽△ADE時(shí)，

OC

AD

=

OD

AE

=1，∴OC=AD，即12-2t=5，t=

7

2

；
②當(dāng)△OCD∽△AED時(shí)，

OC

AE

=

OD

AD

，即

5

2t

=

2t

12-2t

，解得t=

265 -5

4

；
綜上所述，當(dāng)t=

7

2

或

265 -5

4

時(shí)，兩個(gè)三角形相似．