已知一次函數(shù)y1=2x,二次函數(shù)y2=x2+1.
(Ⅰ)根據(jù)表中給出的x的值,計(jì)算對應(yīng)的函數(shù)值y1、y2,并填在表格中:
x-3-2-1123
y1=2x       
y2=x2+1       
(Ⅱ)觀察第(Ⅰ)問表中有關(guān)的數(shù)據(jù),證明如下結(jié)論:在實(shí)數(shù)范圍內(nèi),對于x的同一個(gè)值,這兩個(gè)函數(shù)所對應(yīng)的函數(shù)值y1≤y2均成立;
(Ⅲ)試問,是否存在二次函數(shù)y3=ax2+bx+c,其圖象經(jīng)過點(diǎn)(-5,2),且在實(shí)數(shù)范圍內(nèi),對于x的同一個(gè)值,這三個(gè)函數(shù)所對應(yīng)的函數(shù)值y1≤y3≤y2均成立?若存在,求出函數(shù)y3的解析式;若不存在,請說明理由.
【答案】分析:(Ⅰ)根據(jù)表中所給的x的值,代入函數(shù)式求值即可;
(Ⅱ)把y2化成完全平方的形式與y1進(jìn)行比較即可得出結(jié)論;
(Ⅲ)由圖可知,在實(shí)數(shù)范圍內(nèi),對于x的同一個(gè)值,三個(gè)函數(shù)所對應(yīng)的函數(shù)值y1≤y3≤y2均成立,利用c=2-5a,代入(b-2)2-4ac≤0得出a的值,于是可推理出拋物線的解析式.
解答:解:(Ⅰ)
x-3-2-1123
y1=2x-6-4-2246
y2=x2+1105212510
(Ⅱ)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi),對于x的同一個(gè)值y2=x2+1=(x-1)2+2x,y1=2x,
∵=(x-1)2≥0,
∴y1≤y2;

(Ⅲ)由y1=2x,y2=x2+1得:
y2-y1=x2+1-2x=(x-1)2
即當(dāng)x=1時(shí),有y1=y2=2.
所以(1,2)點(diǎn)為y1和y2的交點(diǎn).
因?yàn)橐獫M足y1≤y3≤y2恒成立,所以y3圖象必過(1,2)點(diǎn).
又因?yàn)閥3-y1=ax2+bx+c-2x恒大于等于0,即ax2+(b-2)x+c恒大于等于0,所以二次函數(shù)ax2+(b-2)x+c必定開口向上,
即有a>0且(b-2)2-4ac≤0,
同樣有y2-y3=(1-a)x2-bx+(1-c)恒大于0,
有 1-a>0 且 b2-4(1-a)(1-c)≤0,
又因?yàn)楹瘮?shù)過(-5,2)和(1,2)兩點(diǎn),所以有
25a-5b+c=2 ①
a+b+c=2 ②
①-②得 b=4a,
將b=4a代入②得:c=2-5a,
代入(b-2)2-4ac≤0得,
(4a-2)2-4a(2-5a)=16a2-16a+4-8a+20a2
=36×a2-24a+4=4(3a-1)2≤0
等式成立時(shí) a=
將b=4a,c=2-5a 代入b2-4(1-a)(1-c)≤0,
(4a)2-4(1-a)(1-(2-5a))=36×a2-24a+4=4(3a-1)2≤0
滿足條件a=
所以y3的解析式為y3=(x2+4a+1)=+x+
點(diǎn)評(píng):此題結(jié)合圖表考查了同學(xué)的對函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征的理解,以及通過數(shù)形結(jié)合考查了同學(xué)們的探索發(fā)現(xiàn)能力.
解答此題需要熟知函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)與判別式的關(guān)系,通過將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程問題來解答.
練習(xí)冊系列答案
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kx
的圖象相交于A、B兩點(diǎn),坐標(biāo)分別為(-精英家教網(wǎng)2,4)、(4,-2).
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kx
的圖象相交于A、B兩點(diǎn),坐標(biāo)分別為(-2,4)、(4,-2).
(1)求兩個(gè)函數(shù)的解析式;
(2)結(jié)合圖象寫出y1<y2時(shí),x的取值范圍;
(3)求△AOB的面積.

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