Question

如圖a，梯形ABCD中，AB∥CD，AB=a，CD=b，點(diǎn)E、F分別是兩腰AD、BC上的點(diǎn)，且EF∥AB，設(shè)EF到CD、AB的距離分別為d₁、d₂，某同學(xué)在對(duì)這一圖形進(jìn)行研究時(shí)，發(fā)現(xiàn)如下事實(shí)：
①當(dāng)

d1

d2

=

1

1

時(shí)，有EF=

a+b

2

；
當(dāng)

d1

d2

=

1

2

時(shí)，有EF=

a+2b

3

；
當(dāng)

d1

d2

=

1

3

時(shí)，有EF=

a+3b

4

；
當(dāng)

d1

d2

=

1

4

時(shí)，有EF=

a+4b

5

；
②當(dāng)

d1

d2

=

2

1

時(shí)，有EF=

2a+b

3

；當(dāng)

d1

d2

=

3

1

時(shí)，有EF=

3a+b

4

；
當(dāng)

d1

d2

=

4

1

時(shí)，有EF=

4a+b

5

；當(dāng)

d1

d2

=

5

1

時(shí)，有EF=

5a+b

6

．
根據(jù)以上結(jié)論，解答下列問題：
（1）猜想當(dāng)

d1

d2

=

1

n

和

d1

d2

=

m

1

時(shí)，分別能得到什么結(jié)論（其中m、n均為正整數(shù)）？
（2）進(jìn)一步猜想當(dāng)

d1

d2

=

m

n

時(shí)，有何結(jié)論（其中m、n均為正整數(shù)）？并證明你的結(jié)論；
（3）如圖b，有一塊梯形耕地ABCD，AB∥CD，CD=100米，AB=300米，AD=500米，在AD上取兩點(diǎn)E、F，使DE=200米，EF=150米，分別從E、F兩處為起點(diǎn)開挖兩條平行于兩底的水渠，直到另一腰，求這兩條水渠的總長度．

Answer 1

分析：（1）由題中已知條件，不難得出規(guī)律，即當(dāng)

d1

d2

=

1

n

時(shí)，EF=

a+nb

n+1

；當(dāng)

d1

d2

=

m

1

時(shí)，EF=

ma+b

m+1

；
（2）猜想，還需進(jìn)行驗(yàn)證，可延長AD、BC交于G，設(shè)△DCG在BC邊上的高為h，再利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，進(jìn)而可得結(jié)論．
（3）對(duì)（2）結(jié)論的實(shí)際運(yùn)用，由（2）中結(jié)論可得兩條水渠的總長度．

解答：解：（1）當(dāng)

d1

d2

=

1

n

時(shí)，EF=

a+nb

n+1

；
當(dāng)

d1

d2

=

m

1

時(shí)，EF=

ma+b

m+1

．

（2）當(dāng)

d1

d2

=

m

n

時(shí)，EF=

ma+nb

m+n

．
證明：延長AD、BC交于G，設(shè)△DCG在BC邊上的高為h，則由三角形相似得：

b EF = h h+m b a = h h+m+n

從上述關(guān)于h，EF的方程組中易求得EF=

ma+nb

m+n

．

（3）由于過點(diǎn)E平行于兩底的水渠到兩底的距離比等于2：3，由（2）中的結(jié)論可得：
水渠長=

2BC+3AD

2+3

=180（米）
由于過點(diǎn)F平行于兩底的水渠到兩底的距離比等于7：3，由（2）中的結(jié)論可得：
水渠長=

7BC+3AD

7+3

=240（米）
故兩條水渠的總長度是180+240=420（米）．

點(diǎn)評(píng)：能夠求解一些簡單的規(guī)律性問題，能夠?qū)��?shù)學(xué)知識(shí)熟練地運(yùn)用到實(shí)際生活當(dāng)中．