Question

已知：如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，以AB上的點O為圓心，OB的長為半徑的圓與AB交于點E，與AC切于點D．

（1）求證：BC＝CD；

（2）求證：∠ADE＝∠ABD；

（3）設AD＝2，AE＝1，求⊙O直徑的長．

 

Answer 1

解：

 

（1）∵∠ABC＝90°，

∴OB⊥BC．

∵OB是⊙O的半徑，

∴CB為⊙O的切線．

又∵CD切⊙O于點D，

∴BC＝CD；

（2）∵BE是⊙O的直徑，

∴∠BDE＝90°．

∴∠ADE＋∠CDB ＝90°．

又∵∠ABC＝90°，

∴∠ABD＋∠CBD＝90°．

由（1）得BC＝CD，∴∠CDB ＝∠CBD．

∴∠ADE＝∠ABD；

（3）由（2）得，∠ADE＝∠ABD，∠A＝∠A．

∴△ADE∽△ABD．

∴＝．

∴＝，∴BE＝3，

∴所求⊙O的直徑長為3．