Question

（2006•萊蕪）兩個(gè)全等的含30°，60°角的三角板ADE和三角板ABC如圖所示放置，E，A，C三點(diǎn)在一條直線上，連接BD，取BD的中點(diǎn)M，連接ME，MC．試判斷△EMC的形狀，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：欲判斷△EMC的形狀，需知道其三邊關(guān)系．根據(jù)題意需證EM=CM，由此證明△EMD≌△CMA即可．依據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)易證．
解答：解：△EMC是等腰直角三角形．理由如下：
連接MA．
∵∠EAD=30°，∠BAC=60°，
∴∠DAB=90°，
∵△EDA≌△CAB，
∴DA=AB，ED=AC，
∴△DAB是等腰直角三角形．
又∵M(jìn)為BD的中點(diǎn)，
∴∠MDA=∠MBA=45°，AM⊥BD（三線合一），
AM=BD=MD，（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半）
∴∠EDM=∠MAC=105°，
在△MDE和△CAM中，
ED=AC，∠MDE=∠CAM，MD=AM
∴△MDE≌△MAC．
∴∠DME=∠AMC，ME=MC，
又∵∠DMA=90°，
∴∠EMC=∠EMA+∠AMC=∠EMA+∠DME=∠DMA=90°．
∴△MEC是等腰直角三角形．
點(diǎn)評(píng)：此題難度中等，考查全等三角形的判定性質(zhì)及等腰三角形性質(zhì)．