Question

如圖所示，已知AB是圓O的直徑，圓O過BC的中點D，且DE⊥AC．
（1）求證：DE是圓O的切線；
（2）若∠C=30°，CD=10cm，求圓O的半徑．

Answer 1

分析：（1）連接OD，利用三角形的中位線定理可得出OD∥AC，再利用平行線的性質(zhì)就可證明DE是圓O的切線．
（2）利用30°特殊角度，可求出AD的長，由兩直線平行同位角相等，可得出∠ODB=∠C=30°，從而△ABD為直角三角形，圓O的半徑可求．

解答：（1）證明：連接OD，
∵D是BC的中點，O為AB的中點，
∴OD∥AC．
又∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∵OD為半徑，
∴DE是圓O的切線．

（2）解：連接AD；
∵AB是圓O的直徑，
∴∠ADB=90°=∠ADC，
∴△ADC是直角三角形．
∵∠C=30°，CD=10，
∴AD=

10 3

3

．
∵OD∥AC，OD=OB，
∴∠B=30°，
∴△OAD是等邊三角形，
∴OD=AD=

10 3

3

，
∴圓O的半徑為

10 3

3

cm．

點評：本題考查了切線的判定及平行線的性質(zhì)．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．