Question

如圖，在△ABC中，分別在AB、AC上選取E、F兩點，使得△AEF沿EF折疊后，點A的對應點D恰好落在BC上，且FD∥AB．
（1）求證：四邊形AEDF是菱形；
（2）如果AB=3，AC=6，求菱形AEDF的邊長．

Answer 1

【答案】分析：（1）由FD∥AB，且使得△AEF沿EF折疊后，點A的對應點D恰好落在BC上，易證得△DEF是等腰三角形，即DE=DF，又由AE=DE，AF=DF，即可得AE=DE=DF=AF，即可證得四邊形AEDF是菱形；
（2）易證得△CFD∽△CAB，然后由相似三角形的對應邊成比例，即可求得菱形AEDF的邊長．
解答：（1）證明：∵FD∥AB，
∴∠1=∠2，
由折疊的性質可得：∠1=∠3，AE=DE，AF=DF，
∴∠2=∠3，
∴DE=DF，
∵AE=DE=DF=AF，
∴四邊形AEDF是菱形；

（2）∵FD∥AB，
∴△CFD∽△CAB，
∴=，
∵四邊形AEDF是菱形，
∴FD=AF，
∵AB=3，AC=6，
∴，
解得：AF=2，
故菱形AEDF的邊長為2．
點評：此題考查了相似三角形的判定與性質、菱形的判定與性質以及等腰三角形的判定與性質．此題難度適中，注意掌握數形結合思想與方程思想的應用．