Question

如圖：拋物線y=ax²-4ax+m與x 軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（1，0），與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求拋物線的對(duì)稱軸和點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）過(guò)點(diǎn)C作CP⊥對(duì)稱軸于點(diǎn)P，連接BC交對(duì)稱軸于點(diǎn)D，連接AC、BP，且∠BPD=∠BCP，求拋物線的解析式；
（3）在（2）的條件下，設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為G，連接BG、CG、求△BCG的面積．

Answer 1

解：（1）對(duì)稱軸是x=-=2，…
∵點(diǎn)A（1，0）且點(diǎn)A、B關(guān)于x=2對(duì)稱，
∴點(diǎn)B（3，0）；…

（2）點(diǎn)A（1，0），B（3，0），
∴AB=2，
∵CP⊥對(duì)稱軸于P，
∴CP∥AB，
∵對(duì)稱軸是x=2，
∴AB∥CP且AB=CP，
∴四邊形ABPC是平行四邊形，…
設(shè)點(diǎn)C（0，x）（x＜0），
在Rt△AOC中，AC=，
∴BP=，
在Rt△BOC中，BC=，
∵，
∴BD=，
∵∠BPD=∠BCP 且∠PBD=∠CBP，
∴△BPD∽△BCP，…
∴BP²=BD•BC，
即，
∴，
∴x₁=，x₂=-，
∵點(diǎn)C在y軸的負(fù)半軸上，
∴點(diǎn)C（0，），…
∴y=ax²-4ax-，
∵過(guò)點(diǎn)（1，0），
∴a-4a-=0，
解得：a=-．
∴解析式是：y=-x²+x-；…

（3）當(dāng)x=2時(shí)，y=，
頂點(diǎn)坐標(biāo)G是（2，），…
設(shè)CG的解析式是：y=kx+b，
∵過(guò)點(diǎn)（0，）（2，），
∴，
∴y=x-，…
設(shè)CG與x軸的交點(diǎn)為H，
令y=0，則x-=0，
得x=，
即H（，0），…
∴BH=3-=，
∴S_△BCG=S_△BHG+S_△BHC===…
分析：（1）由拋物線y=ax²-4ax+m的對(duì)稱軸公式x=-，即可求得其對(duì)稱軸，又由點(diǎn)A、B關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，即可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）由點(diǎn)A（1，0），B（3，0），求得AB的值，又由CP⊥對(duì)稱軸，可得CP∥AB，易證得四邊形ABPC是平行四邊形，然后設(shè)點(diǎn)C（0，x）（x＜0），證得△BPD∽△BCP，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求得x的值，又由二次函數(shù)過(guò)點(diǎn)A與C，利用待定系數(shù)法即可求得此拋物線的解析式；
（3）首先由解析式，即可求得拋物線頂點(diǎn)G坐標(biāo)，然后設(shè)CG的解析式是：y=kx+b，利用待定系數(shù)法即可求得CG的解析式，則可求得H的坐標(biāo)，又由S_△BCG=S_△BHG+S_△BHC，即可求得△BCG的面積．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)對(duì)稱軸的求解方法，二次函數(shù)的對(duì)稱性，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，三角形面積的求解方法以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)．此題綜合性很強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合與方程思想的應(yīng)用．