Question

如圖，拋物線y=x²-2mx+n+1的頂點(diǎn)A在x軸負(fù)半軸上，與y軸交于點(diǎn)B，C是拋物線上一點(diǎn)，且點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為1，AC=3

10

．
（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；
（2）若D是拋物線上一點(diǎn)，直線BD經(jīng)過(guò)第一、二、四象限，且原點(diǎn)O到直線BD的距離為

8 5

5

，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，直線BD上是否存在點(diǎn)P，使得以A、B、P為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）欲求拋物線的解析式，需求出m、n的值，根據(jù)拋物線的解析式，易得頂點(diǎn)A的坐標(biāo)，然后將x=1代入拋物線的解析式中，可得點(diǎn)C的坐標(biāo)，即可根據(jù)AC的長(zhǎng)利用勾股定理得到第一個(gè)關(guān)于m、n的等量關(guān)系式；由于拋物線的頂點(diǎn)在x軸上，即拋物線與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，即根的判別式△=0，聯(lián)立兩個(gè)關(guān)于m、n的式子即可求出m、n的值，從而得到該拋物線的解析式；
（2）根據(jù)（1）的拋物線解析式可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，即可得到OB的長(zhǎng)；過(guò)O作OM⊥BD于M，根據(jù)題意可知OM=

8 5

5

，進(jìn)而可利用勾股定理求得BM的長(zhǎng)；在△EOF中，OM⊥EF，易證得△OBM∽△FOM，根據(jù)相似三角形所得比例線段即可求得OF的長(zhǎng)，也就得到了F點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可利用待定系數(shù)法求得直線BD的解析式，聯(lián)立拋物線的解析式即可求出點(diǎn)D的坐標(biāo)．
（3）存在．利用△ABF∽△AOB、△ABP₂∽△BOA、△ABP₃∽△BOA、△ABP₄∽△AOB可分別確定P₁、P₂、P₃、P₄的坐標(biāo)．

解答：解：（1）過(guò)點(diǎn)C作CE⊥x軸于點(diǎn)E，如圖，
∵拋物線上一點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為1，
∴C（1，n-2m+2），
其中n-2m+2＞0，OE=1，CE=n-2m+2；
∵拋物線的頂點(diǎn)A在x軸負(fù)半軸上，
∴A（m，0），△=4m²-4（n+1）=0，得n=m²-1①，
其中m＜0，OA=-m，AE=OE+OA=1-m，
在Rt△ACE中，AC=3

10

，
∵AE²+CE²=AC²，
∴（1-m）²+（n-2m+2）²=（3

10

）²②，
把①代入②得[（m-1）²]²+（m-1）²-90=0，
∴[（m-1）²+10][（m-1）²-9]=0，
∴（m-1）²-9=0
∴m₁=4，m₂=-2，
∵m＜0，
∴m=-2．
把m=-2代入①，得n=4-1=3，
∴拋物線的關(guān)系式為y=x²+4x+4；
（2）設(shè)直線DB交x軸正半軸于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)O作OM⊥DB于點(diǎn)M，如圖，
∵點(diǎn)O到直線DB的距離為

8 5

5

，
∴OM=

8 5

5

，
而B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，4），
∴OB=4，
∴BM=

OB2-OM2

=

4 5

5

；
∵OB⊥OF，OM⊥BF，
∴△OBM∽△FOM，
∴

OM

BM

=

OF

BO

，即

OF

4

=

8 5 5

4 5 5

，
∴OF=8，
∴F點(diǎn)坐標(biāo)為（8，0），
設(shè)直線DB的解析式為y=kx+b，
把F（8，0）、B（0，4）代入得

8k+b=0 b=4

，解得

k=- 1 2 b=4

，
∴直線DB的解析式為y=-

1

2

x+4，
解方程組

y=x2+4x+4 y=- 1 2 x+4

得

x=0 y=4

或

x=- 9 2 y= 25 4

，
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（-

9

2

，

25

4

）；
（3）存在．理由如下：
∵OB=4，OF=8，
∴BF=

OB2+OF2

=4

5

，
∵y=（x+2）²，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，0），
∴OA=2，
而OB=4，
∴AB=

OB2+OA2

=2

5

∴OA：OB=OB：OF，
∴△OAB∽△OBF，
∴∠AOB=∠OFB，
∴∠ABF=∠ABO+∠OBF=∠OFB+∠OBF=90°，
∴△ABF∽△AOB，
此時(shí)P₁在F點(diǎn)位置，符號(hào)要求，P₁點(diǎn)的坐標(biāo)為（8，0）；
當(dāng)△ABP₂∽△BOA時(shí)，
則BP₂：OA=AB：BO，即BP₂：2=2

5

：4，
∴BP₂=

5

，
過(guò)P₂作P₂H⊥x軸于H，如圖，
∴OH：OF=BP₂：BF，即OH：8=

5

：4

5

，
∴OH=2，
把x=2代入y=-

1

2

x+4得y=-

1

2

×2+4=2，
∴P₂的坐標(biāo)為（2，2）；
當(dāng)△ABP₃∽△BOA時(shí)，同樣得到BP₃=

5

，
∴P₃A⊥OA，
∴P₃的橫坐標(biāo)為-2，
把x=-2代入y=-

1

2

x+4得y=-

1

2

×（-2）+4=5，
∴P₃的坐標(biāo)為（-2，6）；
當(dāng)△ABP₄∽△AOB時(shí)，
則BP₄：OB=AB：AO，即BP₄：4=2

5

：2，
∴BP₄=4

5

，
過(guò)P₄作P₄Q⊥y軸于Q，如圖，
易證得△P₄QB≌△FOB，
∴P₄Q=8，
把x=-8代入y=-

1

2

x+4得y=-

1

2

×（-8）+4=8，
∴P₄的坐標(biāo)為（-8，8），
∴滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為（-8，8）、（-2，5）、（2，2）、（8，0）．

點(diǎn)評(píng)：此題是二次函數(shù)的綜合題，涉及到勾股定理、根的判別式、二次函數(shù)解析式的確定、相似三角形的判定和性質(zhì)以及函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)的求法等重要知識(shí)，綜合性強(qiáng)，難度較大．