Question

在一塊矩形板ABCD上進(jìn)行裝飾，己知AB=2.5m，BC=4m，先在矩形板上作一拋物線，使拋物線經(jīng)過B、C兩點(diǎn)，且其頂點(diǎn)在AD上，再在拋物線內(nèi)作另一矩形EFHG，使這矩形的一邊FH在BC上，另兩點(diǎn)E、G在拋物線上，裝飾拋物線內(nèi)矩形EFHG邊框時(shí)，打算使用一種單價(jià)為每米30元的嵌條，由于此矩形尺寸沒定，為了滿足各種設(shè)計(jì)情況的需要，在作材料預(yù)算時(shí)（不計(jì)損耗），這種嵌條的預(yù)算金額至少應(yīng)為多少？請(qǐng)建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系解決問題．

Answer 1

【答案】分析：本題涉及拋物線與矩形的問題，應(yīng)根據(jù)拋物線的位置，適當(dāng)建立坐標(biāo)系，求拋物線的解析式，可設(shè)小矩形中點(diǎn)H的坐標(biāo)，從而，表達(dá)小矩形的周長，運(yùn)用二次函數(shù)性質(zhì)求最小值．
解答：解：以BC所在的直線為x軸，拋物線的對(duì)稱軸我y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，依題意設(shè)拋物線解析式：
y=ax²+2.5，
把c（2，0）代入得，a=-，
∴y=-x²+2.5；
設(shè)FH=2m，則H（m，0），G（m，-m²+2.5）
即HG=-m²+2.5；
矩形EFHG的周長為：4m+2（-m²+2.5）=-（m-）²+，
由函數(shù)圖象知
∴當(dāng)m=時(shí)，周長最大，
∴這種金額的預(yù)算金額至少為×30=246元．
點(diǎn)評(píng)：本題考查點(diǎn)的坐標(biāo)的求法及二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用．此題為數(shù)學(xué)建模題，借助二次函數(shù)解決實(shí)際問題．