Question

【題目】如圖，拋物線過原點(diǎn)，且與軸交于點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）已知為拋物線上一點(diǎn)，連接，，，求的值；

（3）在第一象限的拋物線上是否存在一點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，使以，，三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與相似，若存在，求出滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為；頂點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）3；（3）點(diǎn)的坐標(biāo)為或．

【解析】

（1）用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式，進(jìn)而即可求出頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）先將點(diǎn)C的橫坐標(biāo)代入拋物線的解析式中求出縱坐標(biāo)，根據(jù)B,C的坐標(biāo)得出，，從而有，最后利用求解即可；

（3）設(shè)為．由于，所以當(dāng)以，，三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與相似時(shí)，分兩種情況：或，分別建立方程計(jì)算即可．

解：（1）∵拋物線過原點(diǎn)，且與軸交于點(diǎn)，

∴，解得．

∴拋物線的解析式為．

∵，

∴頂點(diǎn)的坐標(biāo)為．

（2）∵在拋物線上，

∴．

作軸于，作軸于，

則，，

∴，．

∴．

∵，．

∴．

（3）假設(shè)存在．

設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則為．

由于，

所以當(dāng)以，，三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與相似時(shí)，

有或

∴ 或．

解得或．

∴存在點(diǎn)，使以，，三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與相似．

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為或．