Question

如圖所示，點P是正方形ABCD的對角線BD上一點，PE⊥BC于E，PF⊥CD于F，連接EF，給出下列四個結(jié)論：
①AP=EF；  ②△APD一定是等腰三角形；  ③∠PFE=∠BAP；  ④PD=

2

EC，
其中正確結(jié)論的序號是

①③④

．

Answer 1

分析：連接PC，根據(jù)正方形的對角線平分一組對角可得∠ABP=∠CBP=45°，然后利用“邊角邊”證明△ABP和△CBP全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AP=PC，對應(yīng)角相等可得∠BAP=∠BCP，再根據(jù)矩形的對角線相等可得EF=PC，對邊相等可得PF=EC，再判斷出△PDF是等腰直角三角形，然后根據(jù)等腰直角三角形的斜邊等于直角邊的

2

倍解答即可．

解答：解：如圖，連接PC，在正方形ABCD中，∠ABP=∠CBP=45°，AB=CB，
∵在△ABP和△CBP中，

AB=CB ∠ABP=∠CBP BP=BP

，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴AP=PC，∠BAP=∠BCP，
又∵PE⊥BC，PF⊥CD，
∴四邊形PECF是矩形，
∴PC=EF，∠BCP=∠PFE，
∴AP=EF，∠PFE=∠BAP，故①③正確；
∵PF⊥CD，∠BDC=45°，
∴△PDF是等腰直角三角形，
∴PD=

2

PF，
又∵矩形的對邊PF=EC，
∴PD=

2

EC，故④正確；
只有點P為BD的中點或PD=AD時，△APD是等腰三角形，故②錯誤；
綜上所述，正確的結(jié)論有①③④．
故答案為：①③④．

點評：本題考查了正方形的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，綜合性較強，但難度不大，連接PC構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．