在Rt△ACD中,∠C=90°,∠ABD=135°,∠A=30°,BD=6,求AD的長度.

解:∵∠ABD=135°,
∴∠DBC=45°,
∵∠C=90°,
∴∠CDB=45°,
∴BC=CD,
又∵BD=6,
∴CD=3
∵∠A=30°,
∴AD=2CD=6
分析:由鄰補(bǔ)角的性質(zhì)可知∠DBC=45°,所以可證明三角形DCB是等腰直角三角形,所以BC=CD,又因?yàn)锽D=6,所以可求出DC的長,再根據(jù)在直角三角形中,30°角所對的直角邊等于斜邊的一半,即可求出AD的長度.
點(diǎn)評:本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用以及在直角三角形中,30°角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì).
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:閱讀理解

閱讀下列材料,并解決后面的問題,在銳角△ABC中,∠A、∠B、∠C的對邊分別是a、b、c,則
(1)過點(diǎn)A作AD⊥BC于D(如圖1),
則在Rt△ABD中,AD=
 
;(限用a、b、c、∠A、∠B、∠C中的元素來表示)
在Rt△ACD中,AD=
 

 
=
 

 
=
 

同理最后可得,
 
=
 
=
 

(2)用尺規(guī)畫△ABC的外接圓⊙O,半徑為r(圖2),請你另用不同的方法證明以上結(jié)論;并寫出上述結(jié)論與△ABC外接圓直徑的關(guān)系.
(3)應(yīng)用:△ABC中,若∠A=30°,∠B=45°,b=
2
,則a=
 
,外接圓半徑r=
 

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

課題研究
(1)如圖(1),我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了直角三角形中的邊角關(guān)系,在Rt△ACD中,sin∠A=
 
,所以CD=
 
,而S△ABC=
1
2
AB•CD,于是可將三角形面積公式變形,得S△ABC=
 
.①其文字語言表述為:三角形的面積等于兩邊及其夾角正弦積的一半.這就是我們將要在高中學(xué)習(xí)的正弦定理.
(2)如圖(2),在△ABC中,CD⊥AB于D,∠ACD=α,∠DCB=β.
∵S△ABC=S△ADC+S△BDC,由公式①,得
1
2
AC•BC•sin(α+β)=
1
2
AC•CD•sinα+
1
2
BC•CD•sinβ
,即AC•BC•sin(α+β)=AC•CD•sinα+BC•CD•sinβ②.
請你利用直角三角形邊角關(guān)系,消去②中的AC、BC、CD,將得到新的結(jié)論.并寫出解決過程.
(3)利用(2)中的結(jié)論,試求sin75°和sin105°的值,并比較其大.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,格點(diǎn)圖中的每個小方格都是邊長為1的正方形. 在建立平面直角坐標(biāo)系后,點(diǎn)A(-2,0),B(2,0).(下列畫圖要求均為格點(diǎn)圖形且不得超出已給格點(diǎn)圖).
(1)畫出Rt△ABC,使得tan∠CAB=
1
2
,并寫出C點(diǎn)坐標(biāo)
(2,2)
(2,2)
;
(2)把(1)中Rt△ABC以點(diǎn)A為位似中心放大,使放大前后對應(yīng)邊長的比為2:3,畫出△AB'C'的圖形;
(3)是否存在點(diǎn)D(已知點(diǎn)除外),使得在Rt△ACD中滿足tan∠CAD=
1
2
,若存在,請寫出D點(diǎn)坐標(biāo)
(3,0)
(3,0)
;若不存在,則直接回答不存在.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖1,由直角三角形邊角關(guān)系,可將三角形面積公式變形,
即:S△ABC=
1
2
AB×CD
,
在Rt△ACD中,∵sinA=
CD
AC
,
∴CD=bsinA
S△ABC=
1
2
bc×sin∠A
.①
即三角形的面積等于兩邊之長與夾角正弦之積的一半.
如圖2,在△ABC中,CD⊥AB于D,∠ACD=α,∠DCB=β.
∵S△ABC=S△ADC+S△BDC,由公式①,得
1
2
AC×BC×sin(α+β)=
1
2
AC×CD×sinα+
1
2
BC×CD×sinβ
,
即AC×BC×sin(α+β)=AC×CD×sinα+BC×CD×sinβ.②
請你利用直角三角形邊角關(guān)系,消去②中的AC、BC、CD,只用∠α、∠β、∠α+∠β的正弦或余弦函數(shù)表示(直接寫出結(jié)果).
(1)
sin(α+β)=sinα×cosβ+cosα×sinβ
sin(α+β)=sinα×cosβ+cosα×sinβ

(2)利用這個結(jié)果計(jì)算:sin75°=
6
2
4
6
2
4

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在Rt△ACD中,∠ADC=90°,AD=2,CD=1,點(diǎn)B在AD的延長線上,BD=l,連接BC.
(1)求BC的長;
(2)動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),向終點(diǎn)B運(yùn)動,速度為1個單位/秒,運(yùn)動時間為t秒.
①當(dāng)t為何值時,△PDC≌△BDC;
②當(dāng)t為何值時,△PBC是以PB為腰的等腰三角形?

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