Question

如圖，一張半徑為1的圓形紙片在邊長為a（a≥2

3

）的等邊三角形內任意移動，則在等邊三角形內，這張圓形紙片“不能接觸到的部分”的面積是

3

3

-π

（結果保留π）

Answer 1

分析：過圓形紙片的圓心O₁作兩邊的垂線，垂足分別為D，E，連AO₁，則在Rt△ADO₁中，可求得AD=

3

r．四邊形ADO₁E的面積等于三角形ADO₁的面積的2倍，還可求出扇形O₁DE的面積，所求面積等于四邊形ADO₁E的面積減去扇形O₁DE的面積的三倍．

解答：解：如圖，當圓形紙片運動到與∠A的兩邊相切的位置時，
過圓形紙片的圓心O₁作兩邊的垂線，垂足分別為D，E，
連AO₁，則Rt△ADO₁中，∠O₁AD=30°，O₁D=1，AD=

3

．
∴S_△ADO1=

1

2

O₁D•AD=

3

2

．由S_{四形形ADO1E}=2S_△ADO1=

3

．
∵由題意，∠DO₁E=120°，得S扇形O1DE=

π

3

，
∴圓形紙片不能接觸到的部分的面積為3（

3

-

π

3

）=3

3

-π．
故答案是：3

3

-π

點評：本題考查了面積的計算、等邊三角形的性質和切線的性質，是基礎知識要熟練掌握．解答此題時，利用了切線的性質構建直角三角形，在直角三角形中利用三角形的面積公式求得S_△ADO1=

1

2

O₁D•AD=

3

2

．