Question

【題目】（1）如圖1，點(diǎn)A為線(xiàn)段BC外一動(dòng)點(diǎn)，且BC=a，AB=b，填空：當(dāng)點(diǎn)A位于　 　時(shí)，線(xiàn)段AC的長(zhǎng)取到最大值，則最大值為　 ；（用含a、b的式子表示）。

（2）如圖2，若點(diǎn)A為線(xiàn)段BC外一動(dòng)點(diǎn)，且BC=4，AB=2，分別以AB，AC為邊，作等邊和等邊，連接CD，BE.

①圖中與線(xiàn)段BE相等的線(xiàn)段是線(xiàn)段 ，并說(shuō)明理由；

②直接寫(xiě)出線(xiàn)段BE長(zhǎng)的最大值為 。

（3）如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（5，0），點(diǎn)P為線(xiàn)段AB外一動(dòng)點(diǎn)，且PA=2，PM=PB，∠BPM=90°，請(qǐng)直接寫(xiě)出線(xiàn)段AM長(zhǎng)的最大值為 ，及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為 。（提示：等腰直角三角形的三邊長(zhǎng)a、b、c滿(mǎn)足a：b：c=1：1：）

Answer 1

【答案】（1）CB延長(zhǎng)線(xiàn)上；a+b（2）①DC②6；（3）3+2，（2-，）或（2-，-）.

【解析】

1）根據(jù)點(diǎn)A位于CB的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，線(xiàn)段AC的長(zhǎng)取得最大值，即可得到結(jié)論；
（2）①根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，推出△CAD≌△EAB，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CD=BE；②由于線(xiàn)段BE長(zhǎng)的最大值=線(xiàn)段CD的最大值，根據(jù)（1）中的結(jié)論即可得到結(jié)果；
（3）連接BM，將△APM繞著點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△PBN，連接AN，得到△APN是等腰直角三角形，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到PN=PA，BN=AM，根據(jù)當(dāng)N在線(xiàn)段BA的延長(zhǎng)線(xiàn)時(shí)，線(xiàn)段BN取得最大值，即可得到最大值為過(guò)P作PE⊥x軸于E，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，即可得到結(jié)論．

（1）CB延長(zhǎng)線(xiàn)上；a+b；

（2）①DC，

理由如下：∵△ABD與△ACE是等邊三角形，

∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，

∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，

即∠CAD=∠EAB，

在△CAD與△EAB中，

，

∴△CAD≌△EAB，

∴CD=BE.

②6

（3）

（2-，）或（2-，-）