Question

【題目】已知的兩邊、的長(zhǎng)分別是關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，第三邊的長(zhǎng)為5.

（1）當(dāng)為何值時(shí)， 是直角三角形；

（2）當(dāng)為何值時(shí)， 是等腰三角形，并求出的周長(zhǎng).

Answer 1

【答案】（1）2；（2）14或6

【解析】試題分析：

（1）△ABC是以BC為斜邊的直角三角形，即AB，AC的平方和是25，則一元二次方程x2-（2k+3）x+k2+3k+2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和是25，根據(jù)韋達(dá)定理和勾股定理解出k的值，再把k的值代入原方程，檢查k是哪個(gè)值時(shí)，△ABC是以BC為斜邊的直角三角形則可；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，分三種情況討論：①AB=AC，②AB=BC，③BC=AC；后兩種情況相同，則可有另種情況，再由根與系數(shù)的關(guān)系得出k的值，再求的周長(zhǎng)。

試題解析：

（1）設(shè)邊AB=a，AC=b

∵a、b是方程x2-（2k+3）x+k2+3k+2=0的兩根

∴a+b=2k+3，a－b=k2+3k+2

又∵△ABC是以BC為斜邊的直角三角形，且BC=5

∴a2+b2=52，

即（a+b）2-2ab=52，

∴（2k+3）2-2（k2+3k+2）=25

∴k2+3k-10=0

∴k1=-5或k2=2

當(dāng)k=-5時(shí)，方程為：x2+7x+12=0

解得：x1=-3，x2=-4（舍去）

當(dāng)k=2時(shí)，方程為：x2-7x+12=0

解得：x1=3，x2=4

∴當(dāng)k=2時(shí)，△ABC是以BC為斜邊的直角三角形．

（2）∵△ABC是等腰三角形；

∴當(dāng)AB=AC時(shí)，△=b2-4ac=0，

∴（2k+3）2-4（k2+3k+2）=0

解得k不存在；

當(dāng)AB=BC時(shí)，即AB=5，

∴5+AC=2k+3，5AC=k2+3k+2，

解得k=3或4，

∴AC=4或6，

∴△ABC的周長(zhǎng)為14或16