Question

已知直線和y=-x+m，二次函數(shù)y=x²+px+q圖象的頂點(diǎn)為M．
（1）若M恰在直線與y=-x+m的交點(diǎn)處，試證明：無論m取何實(shí)數(shù)值，二次函數(shù)y=x²+px+q的圖象與直線y=-x+m總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；
（2）在（1）的條件下，若直線y=-x+m過點(diǎn)D（0，-3），求二次函數(shù)y=x²+px+q的表達(dá)式；
（3）在（2）的條件下，若二次函數(shù)y=x²+px+q的圖象與y軸交于點(diǎn)C，與x軸的左交點(diǎn)為A，試在拋物線的對(duì)稱軸上求點(diǎn)P，使得△PAC為等腰三角形．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知直線和y=-x+m，列出方程求出x，y的等量關(guān)系式即可求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．把M點(diǎn)坐標(biāo)代入二次函數(shù)，求出△＞0．故無論m為何實(shí)數(shù)值，二次函數(shù)與直線總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．
（2）已知直線y=-x+m過點(diǎn)D，求出M的坐標(biāo)．
（3）二次函數(shù)與y軸交點(diǎn)為C，與x軸的左交點(diǎn)為點(diǎn)A．分情況解出P點(diǎn)坐標(biāo)．
解答：解：（1）由
得
即交點(diǎn)M坐標(biāo)為（）（1分）
此時(shí)二次函數(shù)為③
由②，③聯(lián)立，消去y，有（2分）

=
=1＞0（3分）
∴無論m為何實(shí)數(shù)值，二次函數(shù)y=x²+px+q的圖象與直線y=-x+m總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．（4分）

（2）∵直線y=-x+m過點(diǎn)D（0，-3），
∴-3=0+m
∴m=-3
∴M點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，-1）（5分）
∴二次函數(shù)為y=（x+2）²-1=x²+4x+3（6分）

（3）二次函數(shù)y=x²+4x+3與y軸交點(diǎn)C為（0，3），與x軸的左交點(diǎn)A為（-3，0）（7分）
①當(dāng)P₁A=P₁C時(shí)，可得P₁坐標(biāo)為（-2，2）（8分）
②當(dāng)AP₂=AC時(shí)，可得P₂坐標(biāo)為（-2，）或（-2，）（9分）
③當(dāng)CP₃=AC時(shí)，可得P₃坐標(biāo)為（-2，）或（-2，）（10分）
綜上得，當(dāng)P為（-2，2），（-2，），（-2，），（-2，），
（-2，）時(shí)，△PAC為等腰三角形．（10分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是二次函數(shù)的綜合運(yùn)用以及等腰三角形的性質(zhì)，難度較大．